Сколько рабочих в бригаде, если вся работа может быть выполнена за 24 часа, но по плану количество работников

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать метод пошаговых рассуждений и логического вывода.

Давайте начнем с предположения, что на самом последнем часу работы количество рабочих составляет $x$ человек. Мы знаем, что работа была выполнена за 24 часа, и количество рабочих увеличивалось каждый час.

Если количество рабочих на последнем часу составляет $x$ человек, то на предыдущем часу количество рабочих должно было составлять $x-1$ человек. Аналогично, на часе перед этим количество рабочих должно было быть равно $x-2$ человеки, и так далее.

Теперь мы знаем, что если все рабочие, кроме 5, начали работать с самого начала, то время работы могло бы быть сокращено на 6 часов. Это означает, что количество рабочих в исходной задаче на каждый час было на 5 человек больше, чем количество рабочих на каждый час в измененной ситуации.

Исходя из этого, мы можем составить следующую систему уравнений:

$$\begin{array}{rl}24& =(x+(x-1)+(x-2)+\dots +1)\\ 18& =((x-5)+(x-6)+(x-7)+\dots +1)\end{array}$$

Разберемся с первым уравнением. Мы заменяем сумму чисел от 1 до $x$ на арифметическую прогрессию. Формула для суммы чисел арифметической прогрессии выглядит так:

$$S=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$$

где $S$ - сумма, $n$ - количество членов прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $a_n$ - последний член прогрессии. В нашем случае, $n=x$ и $a_1=1$, а $a_n=x$. Подставив значения в формулу, получим:

$$24=\frac{x}{2}(1+x)$$

Разрешим это уравнение относительно $x$:

$$\begin{gathered} 24=\frac{x}{2}(1+x) \\ 48=x(1+x) \\ 48=x+x^2 \\ {x}^2+x-48=0 \end{gathered}$$

Решим это квадратное уравнение. Если предположить, что $x=6$, следующие два пункта решения имеют различные знаки:

$$(x-6)(x+8)=0$$

Таким образом, получаем два возможных значения для $x$: $x=6$ или $x=-8$. Отрицательное значение $x$ нам не подходит, поэтому $x=6$.

Таким образом, на последнем часу работы в бригаде было 6 рабочих.