407. Представьте уравнение диаметра окружности, которая проходит через центр хорды, отсекаемой на линии x - 2у - 3

407. Чтобы найти уравнение диаметра окружности, проходящей через центр хорды, нам нужно найти координаты центра окружности и радиус.

Для начала, давайте найдем координаты точки пересечения линии х - 2у - 3 = 0 и центральной оси координат. Для этого мы приравняем y к нулю и найдем значение х.

Когда y = 0, уравнение будет выглядеть следующим образом:
х - 2(0) - 3 = 0
х - 3 = 0
х = 3

Таким образом, точка пересечения для центральной оси координат будет (3, 0).

Теперь давайте найдем уравнение перпендикулярной хорды. Мы знаем, что хорда параллельна линии х - 2у - 3 = 0, поэтому угловой коэффициент хорды будет противоположным и обратным углового коэффициента этой линии.

Угловой коэффициент линии х - 2у - 3 = 0 равен 1/2. Поэтому угловой коэффициент перпендикулярной хорды будет -2/1, то есть -2.

Теперь, используя формулу уравнения прямой (y - y₁) = m(x - x₁), подставим координаты точки пересечения (3, 0) и угловой коэффициент -2/1 в эту формулу:

(y - 0) = -2/1(x - 3)
y = -2x + 6

Теперь найдем середину хорды, используя формулу (x + x₁)/2 и (y + y₁)/2, где (x₁, y₁) - координаты точки пересечения линии х - 2у - 3 = 0 и центральной оси координат. Подставим значения:

(x + 3)/2 = (y + 0)/2
(x + 3)/2 = y/2
x + 3 = 2y

Теперь решим эту систему уравнений:
y = -2x + 6
x + 3 = 2y

Подставим значение y из первого уравнения во второе:
x + 3 = 2(-2x + 6)
x + 3 = -4x + 12
5x = 9
x = \frac{9}{5}

Теперь найдем значение y, подставив значение x в одно из уравнений:
y = -2\left(\frac{9}{5}\right) + 6
y = -\frac{18}{5} + 6
y = \frac{12}{5}

Таким образом, координаты центра окружности будут \left(\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right).

Для нахождения радиуса квадрата, нам нужно найти расстояние от центра окружности до точки пересечения хорды. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками \sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}, где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты двух точек.

Заметим, что точка пересечения хорды (3, 0) и центр окружности \left(\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right).

Расстояние между двумя точками будет:
\sqrt{\left(\frac{9}{5} - 3\right)² + \left(\frac{12}{5} - 0\right)²}
\sqrt{\frac{144}{25}}
\frac{12}{5}

Следовательно, радиус окружности равен \frac{12}{5}.

Уравнение диаметра окружности, которая проходит через центр хорды, можно записать в виде (х - a)² + (y - b)² = r², где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус.

Подставим значения в формулу:
\left(x - \frac{9}{5}\right)² + \left(y - \frac{12}{5}\right)² = \left(\frac{12}{5}\right)²