4. В треугольнике ABC выбрана точка М так, что отрезок BM делит углы ABC и AMC пополам. Докажите, что отрезок

Для доказательства, что отрезок BM является перпендикуляром, нам нужно использовать свойство симметрии и рассмотреть углы треугольника ABC.

Пусть угол ABC равен \( \angle ABC = \alpha \), а угол AMC равен \( \angle AMC = \beta \). Также обозначим угол BMA как \( \angle BMA = \gamma \).

Поскольку угол BM делит углы ABC и AMC пополам, мы можем сказать, что \( \angle ABM = \frac{\alpha}{2} \) и \( \angle CBM = \frac{\alpha}{2} \) для треугольника ABM, а также \( \angle AMB = \frac{\beta}{2} \) и \( \angle CMB = \frac{\beta}{2} \) для треугольника CMB.

Используем свойство суммы углов треугольника, сумма углов треугольника равна 180 градусов:
\[ \alpha + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ \]
\[ \frac{3\alpha}{2} = 180^\circ \]

Теперь найдем угол BMA в треугольнике ABM:
\[ \gamma + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ \]
\[ \gamma + \alpha = 180^\circ \]
\[ \gamma = 180^\circ - \alpha \]

Наконец, найдем угол CMB в треугольнике CMB:
\[ \frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ \]
\[ \frac{2\beta + \alpha}{2} = 180^\circ \]
\[ 2\beta + \alpha = 360^\circ \]
\[ \beta = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} \]

Теперь сравним угол BMA и угол CMB:
\[ \gamma = 180^\circ - \alpha \]
\[ \beta = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} \]

Мы можем заметить, что угол BMA равен углу CMB. Таким образом, треугольник AMB равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике основание медианы является высотой и перпендикулярно к основанию. Значит, отрезок BM является высотой треугольника AMB и, следовательно, перпендикулярен к основанию AB.

Таким образом, мы доказали, что отрезок BM является перпендикуляром треугольника ABC.