4. Побудуйте трикутник, що має симетрію відносно точки О (середина сторони ВС) відносно різностороннього трикутника

Задача 4:
Для початку побудуємо різносторонній трикутник АВС. Заведемо координатну площину і позначимо точки А(-2, 0), В(0, 4) і С(2, 0):

Тепер розмістимо точку О на середині сторони ВС. Середина сторони ВС має координати, які дорівнюють середнім арифметичним координат точок В і С. Знайдемо координати точки О:
\[ x_O = \frac{{x_B + x_C}}{2} = \frac{{0 + 2}}{2} = 1 \]
\[ y_O = \frac{{y_B + y_C}}{2} = \frac{{4 + 0}}{2} = 2 \]

Таким чином, точка О має координати О(1, 2). Тепер побудуємо трикутник, симетричний відносно точки О. Для цього обернемо трикутник АВС на 180° відносно точки О. Отримаємо трикутник, який також буде різностороннім і матиме симетрію відносно точки O.

Задача 5:
Для виконання повороту рівнобедреного трикутника ВСК на 90° за годинниковою стрілкою навколо точки К, визначимо координати точок В, С і К на координатній площині.

Нехай В(-3, 0), С(3, 0) і К(0, 4) - координати початкових точок.

Для виконання повороту на 90° навколо точки К, замінимо кожну точку (x, y) на нову точку з координатами (-y, x). Отже, нові координати точок В", С" і К будуть:

В" = (-0, -3) = (0, -3)
С" = (-0, 3) = (0, 3)
К" = (4, 0)

Отримали точки В"(0, -3), С"(0, 3) і К"(4, 0). Трикутник В"С"К" буде мати вказаний поворот на 90° навколо точки К.

Задача 6:
Ми знаємо, що точки B(-3, y) і B(x, 4) є симетричними відносно точки О(1, 5). Щоб знайти значення x і y, використаємо властивості симетрії.

Симетрична точка B відносно точки О матиме такі ж значення координат, але зі зміненим знаком. Отже, маємо:

x = -3
y = 5 - (4 - 5) = 5 - (-1) = 6

Таким чином, x = -3 і y = 6.

Задача 7:
Паралельне перенесення точки А(1, -3) в точку В(-1, 4) можна розглядати як зсув по горизонталі на -2 одиниці і вертикалі на 7 одиниць. Таким чином, кожна координата відповідно зменшується на 2 і збільшується на 7.

Отже, щоб знайти нові координати точки С(1, -5), виконаємо такі ж зсуви залишаючи таку саму різницю між координатами:

x" = x + (-2) = 1 + (-2) = -1
y" = y + 7 = -5 + 7 = 2

Таким чином, після паралельного перенесення точка С(1, -5) перейде в точку С"(-1, 2).