Докажите, что в данном графе отсутствует путь Гамильтона, но в графе, полученном путем удаления одной из вершин

Для начала, давайте разберемся, что такое путь и цикл Гамильтона в графе.

Путь Гамильтона - это путь, который проходит по каждой вершине графа ровно один раз и заканчивается в начальной вершине. То есть, это такой путь, который «обходит» все вершины графа без повторений.

Цикл Гамильтона - это замкнутый путь, который проходит по каждой вершине графа ровно один раз, начиная и заканчивая в одной и той же вершине.

Теперь перейдем к решению задачи.
Дано, что в данном графе отсутствует путь Гамильтона, но в графе, полученном путем удаления одной из вершин, присутствует цикл Гамильтона.

Чтобы доказать отсутствие пути Гамильтона в данном графе, нам необходимо рассмотреть все возможные пути, которые проходят через каждую вершину ровно один раз и возвращаются в начальную вершину.

Мы можем применить графовую характеристику, называемую «степенью вершины». Степень вершины - это количество ребер, соединяющих данную вершину с другими вершинами графа.

Для доказательства отсутствия пути Гамильтона, нам нужно проверить условие, что степень каждой вершины графа больше или равна \(n/2\), где \(n\) - общее количество вершин в графе. Если хотя бы одна вершина имеет степень меньше \(n/2\), то путь Гамильтона не существует.

Теперь давайте рассмотрим граф, полученный путем удаления одной из вершин. В нем уже известно, что присутствует цикл Гамильтона.

Если мы удалим одну из вершин и, тем самым, создадим новый граф, то мы в конечном итоге останемся с путями Гамильтона, проходящими через все вершины нового графа без повторений.

Таким образом, изначальный граф не содержит пути Гамильтона, но в графе, полученном путем удаления одной из вершин, присутствует цикл Гамильтона.