У нас есть четырехугольная усеченная пирамида со сторонами: ав=8дм, аа1=а1в1=4дм. Нужно найти следующие величины

Хорошо, давайте посчитаем все эти величины по очереди.

а) Для начала найдем длину апофемы пирамиды. Апофема - это отрезок, проведенный из вершины пирамиды до ее середины. Для усеченной пирамиды этот отрезок будет перпендикулярным к основанию пирамиды.

Чтобы найти апофему, нам потребуется знать высоту пирамиды и радиус основания (поскольку это усеченная пирамида). Известно, что сторона ав равна 8 дм, а сторона аа1 (и а1в1) равна 4 дм.

Высоту пирамиды можно найти с помощью теоремы Пифагора. Внутри пирамиды можно построить прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной длине апофемы, большим катетом, равным высоте пирамиды, и меньшим катетом, равным половине разности сторон основания пирамиды.

Вычислим высоту пирамиды:
$$аа1=а1в1=4\text{дм}$$
$$ав=8\text{дм}$$
$$\frac{а1в1}{2}=\frac{ав}{2}-\text{основание пирамиды}$$
$$\frac{4}{2}=\frac{8}{2}-\text{основание пирамиды}$$
$$\frac{4}{2}=4-\text{основание пирамиды}$$
$$2=4-\text{основание пирамиды}$$
$$\text{основание пирамиды}=4-2=2\text{дм}$$

Теперь, зная основание пирамиды, мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти высоту пирамиды:
$$H=\sqrt{аа1^2-{\left(\frac{а1в1}{2}\right)}^2}$$
$$H=\sqrt{4^2-{\left(\frac{2}{2}\right)}^2}$$
$$H=\sqrt{16-1}$$
$$H=\sqrt{15}\text{дм}$$

Теперь, зная высоту пирамиды, мы можем найти длину апофемы. Для этого мы используем теорему Пифагора для правильного треугольника, где один катет равен половине стороны основания пирамиды, а гипотенуза равна апофеме.
$$апофема=\sqrt{(ав/2{)}^2+H^2}$$
$$апофема=\sqrt{(8/2{)}^2+(\sqrt{15}{)}^2}$$
$$апофема=\sqrt{16+15}$$
$$апофема=\sqrt{31}\text{дм}$$

Ответ: апофема пирамиды равна $\sqrt{31}$ дм.

б) Теперь рассмотрим величины плоских углов боковых граней. В усеченной пирамиде все боковые грани являются трапециями.

Мы можем найти плоские углы трапеции, используя следующую формулу:
$$\alpha =\arctan \left(\frac{a_1{v}_1-av}{h}\right)$$

Где:
$\alpha$ - плоский угол трапеции,
$a_1{v}_1$ - длина бокового основания трапеции (равно $a_1{v}_1=4$),
$av$ - длина основания трапеции (равно $av=8$),
$h$ - высота трапеции (равно $h=H=\sqrt{15}$).

Подставляя все значения в формулу, мы можем найти плоские углы:
$$\alpha =\arctan \left(\frac{4-8}{\sqrt{15}}\right)$$
$$\alpha =\arctan \left(\frac{-4}{\sqrt{15}}\right)$$
$$\alpha \approx -{18.43}^{\circ }$$

Значение плоского угла трапеции равно примерно -18.43 градуса.

Ответ: Значения плоских углов боковых граней равны примерно -18.43 градуса.

в) Чтобы найти высоту пирамиды, мы уже использовали формулу из пункта (а).

Ответ: Высота пирамиды равна $\sqrt{15}$ дм.

г) Длина диагонали пирамиды - это отрезок, соединяющий две вершины основания пирамиды, не лежащие на одной линии. Для того чтобы найти длину диагонали, нам нужно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника, образованного диагональю, высотой пирамиды и половиной стороны основания.

Половина стороны основания равна $av/2=8/2=4$ дм.

Тогда можем вычислить длину диагонали:
$$\text{диагональ}=\sqrt{H^2+(av/2{)}^2}$$
$$\text{диагональ}=\sqrt{(\sqrt{15}{)}^2+4^2}$$
$$\text{диагональ}=\sqrt{15+16}$$
$$\text{диагональ}=\sqrt{31}\text{дм}$$

Ответ: Длина диагонали пирамиды равна $\sqrt{31}$ дм.

д) Площадь боковой поверхности пирамиды можно посчитать, используя формулу:
$$S=\frac{1}{2}\cdot \text{периметр основания}\cdot \text{апофема}$$

Периметр основания можно найти, сложив все стороны основания, которые у нас уже известны:
$$\text{периметр}=av+a_1{v}_1+a_{1}a+a_{1}v$$
$$\text{периметр}=8+4+4+4=20\text{дм}$$

Тогда мы можем найти площадь боковой поверхности:
$$S=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot \sqrt{31}$$
$$S=10\cdot \sqrt{31}{\text{дм}}^2$$

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна $10\cdot \sqrt{31}$ ${\text{дм}}^2$.