У нас есть четырехугольная усеченная пирамида со сторонами: ав=8дм, аа1=а1в1=4дм. Нужно найти следующие величины

Хорошо, давайте посчитаем все эти величины по очереди.

а) Для начала найдем длину апофемы пирамиды. Апофема - это отрезок, проведенный из вершины пирамиды до ее середины. Для усеченной пирамиды этот отрезок будет перпендикулярным к основанию пирамиды.

Чтобы найти апофему, нам потребуется знать высоту пирамиды и радиус основания (поскольку это усеченная пирамида). Известно, что сторона ав равна 8 дм, а сторона аа1 (и а1в1) равна 4 дм.

Высоту пирамиды можно найти с помощью теоремы Пифагора. Внутри пирамиды можно построить прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной длине апофемы, большим катетом, равным высоте пирамиды, и меньшим катетом, равным половине разности сторон основания пирамиды.

Вычислим высоту пирамиды:
\[
аа1 = а1в1 = 4 \, \text{дм}
\]
\[
ав = 8 \, \text{дм}
\]
\[
\frac{а1в1}{2} = \frac{ав}{2} -\text{основание пирамиды}
\]
\[
\frac{4}{2}= \frac{8}{2} - \text{основание пирамиды}
\]
\[
\frac{4}{2} = 4 - \text{основание пирамиды}
\]
\[
2 = 4 - \text{основание пирамиды}
\]
\[
\text{основание пирамиды} = 4 - 2 = 2 \, \text{дм}
\]

Теперь, зная основание пирамиды, мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти высоту пирамиды:
\[
H = \sqrt{аа1^2 - \left(\frac{а1в1}{2} \right)^2}
\]
\[
H = \sqrt{4^2 - \left(\frac{2}{2} \right)^2}
\]
\[
H = \sqrt{16 - 1}
\]
\[
H = \sqrt{15} \, \text{дм}
\]

Теперь, зная высоту пирамиды, мы можем найти длину апофемы. Для этого мы используем теорему Пифагора для правильного треугольника, где один катет равен половине стороны основания пирамиды, а гипотенуза равна апофеме.
\[
апофема = \sqrt{(ав/2)^2 + H^2}
\]
\[
апофема = \sqrt{(8/2)^2 + ( \sqrt{15} )^2 }
\]
\[
апофема = \sqrt{16 + 15}
\]
\[
апофема = \sqrt{31} \, \text{дм}
\]

Ответ: апофема пирамиды равна \(\sqrt{31}\) дм.

б) Теперь рассмотрим величины плоских углов боковых граней. В усеченной пирамиде все боковые грани являются трапециями.

Мы можем найти плоские углы трапеции, используя следующую формулу:
\[
\alpha = \arctan \left( \frac{a_1v_1 - av}{h} \right)
\]

Где:
\(\alpha\) - плоский угол трапеции,
\(a_1v_1\) - длина бокового основания трапеции (равно \(a_1v_1 = 4\)),
\(av\) - длина основания трапеции (равно \(av = 8\)),
\(h\) - высота трапеции (равно \(h = H = \sqrt{15}\)).

Подставляя все значения в формулу, мы можем найти плоские углы:
\[
\alpha = \arctan \left( \frac{4 - 8}{ \sqrt{15} } \right)
\]
\[
\alpha = \arctan \left( \frac{-4}{ \sqrt{15} } \right)
\]
\[
\alpha \approx -18.43^\circ
\]

Значение плоского угла трапеции равно примерно -18.43 градуса.

Ответ: Значения плоских углов боковых граней равны примерно -18.43 градуса.

в) Чтобы найти высоту пирамиды, мы уже использовали формулу из пункта (а).

Ответ: Высота пирамиды равна \(\sqrt{15}\) дм.

г) Длина диагонали пирамиды - это отрезок, соединяющий две вершины основания пирамиды, не лежащие на одной линии. Для того чтобы найти длину диагонали, нам нужно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника, образованного диагональю, высотой пирамиды и половиной стороны основания.

Половина стороны основания равна \(av/2 = 8/2 = 4\) дм.

Тогда можем вычислить длину диагонали:
\[
\text{диагональ} = \sqrt{H^2 + (av/2)^2}
\]
\[
\text{диагональ} = \sqrt{(\sqrt{15})^2 + 4^2}
\]
\[
\text{диагональ} = \sqrt{15 + 16}
\]
\[
\text{диагональ} = \sqrt{31} \, \text{дм}
\]

Ответ: Длина диагонали пирамиды равна \(\sqrt{31}\) дм.

д) Площадь боковой поверхности пирамиды можно посчитать, используя формулу:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{периметр основания} \cdot \text{апофема}
\]

Периметр основания можно найти, сложив все стороны основания, которые у нас уже известны:
\[
\text{периметр} = av + a_1v_1 + a_1a + a_1v
\]
\[
\text{периметр} = 8 + 4 + 4 + 4 = 20 \, \text{дм}
\]

Тогда мы можем найти площадь боковой поверхности:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \sqrt{31}
\]
\[
S = 10 \cdot \sqrt{31} \, \text{дм}^2
\]

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна \(10 \cdot \sqrt{31}\) \(\text{дм}^2\).