Выполните операции: (5x + 35) / (3x - 1) : (x^2 - 49) / (6x

Хорошо, начнем.

Для выполнения операций, нам нужно разложить выражение на простые дроби. Давайте разберемся с каждым шагом по очереди.

1. Сначала мы должны разложить дробь \(\frac{{5x + 35}}{{3x - 1}}\) на простые дроби. Для этого используем метод частных дробей.

2. Заметим, что знаменатель дроби \((3x - 1)\) имеет вид \(a^2 - b^2\), где \(a = x\) и \(b = 7\). Мы можем разложить его следующим образом: \((3x - 1) = (x + 7)(x - 7)\).

3. Поэтому нашу исходную дробь можно переписать следующим образом: \(\frac{{5x + 35}}{{(x + 7)(x - 7)}}\).

4. Теперь разложим дробь \(\frac{{x^2 - 49}}{{6x}}\) на простые дроби. Заметим, что знаменатель дроби \(6x\) не имеет множителя с \((x + 7)(x - 7)\), поэтому его уже не нужно разлагать.

5. Выпишем многочлен \(x^2 - 49\) как разность квадратов: \(x^2 - 49 = (x + 7)(x - 7)\).

6. Таким образом, нашу вторую дробь можно записать так: \(\frac{{(x + 7)(x - 7)}}{{6x}}\).

7. Теперь у нас есть две дроби: \(\frac{{5x + 35}}{{(x + 7)(x - 7)}}\) и \(\frac{{(x + 7)(x - 7)}}{{6x}}\).

8. Заметим, что знаменатели этих двух дробей сокращаются, поэтому мы можем записать их как одну дробь.

9. Умножим числитель первой дроби \(\frac{{5x + 35}}{{(x + 7)(x - 7)}}\) на знаменатель второй дроби \(\frac{{(x + 7)(x - 7)}}{{6x}}\).

10. Получаем: \(\frac{{(5x + 35)(x + 7)(x - 7)}}{{(x + 7)(x - 7)(6x)}}\).

11. Заметим, что \((x + 7)(x - 7)\) сокращается в числителе и знаменателе, а также \((6x)\) сокращается в числителе и знаменателе.

12. Итак, наше исходное выражение упрощается до \(\frac{{5x + 35}}{{6}}\).

Таким образом, результат операции \((5x + 35) / (3x - 1) : (x^2 - 49) / (6x)\) равен \(\frac{{5x + 35}}{{6}}\).