34 а) На сколько число могло измениться, если одну из его цифр уменьшили на 1, а другую увеличили на 1? Какова сумма

а) Для решения задачи нам нужно рассмотреть все возможные варианты изменений цифр числа.

Пусть исходное число имеет две цифры: A и B. Если мы уменьшаем цифру A на 1, а цифру B увеличиваем на 1, то новое число будет иметь цифры (A-1) и (B+1). Сумма цифр нового числа будет равна (A-1) + (B+1) = A + B.

Теперь давайте рассмотрим все возможные комбинации для цифр A и B и найдем сумму цифр нового числа:
1) A = 0, B = 0. В этом случае новое число будет иметь цифры -1 и 1. Сумма цифр будет -1 + 1 = 0.
2) A = 0, B = 1. Новые цифры: -1 и 2. Сумма цифр: -1 + 2 = 1.
3) A = 0, B = 2. Новые цифры: -1 и 3. Сумма цифр: -1 + 3 = 2.
4) A = 1, B = 0. Новые цифры: 0 и 2. Сумма цифр: 0 + 2 = 2.
5) A = 1, B = 1. Новые цифры: 0 и 2. Сумма цифр: 1 + 1 = 2.
6) A = 1, B = 2. Новые цифры: 0 и 3. Сумма цифр: 1 + 2 = 3.
7) A = 2, B = 0. Новые цифры: 1 и 1. Сумма цифр: 2 + 0 = 2.
8) A = 2, B = 1. Новые цифры: 1 и 2. Сумма цифр: 2 + 1 = 3.
9) A = 2, B = 2. Новые цифры: 1 и 3. Сумма цифр: 2 + 2 = 4.

Итак, мы нашли все возможные значения для суммы цифр нового числа: 0, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 4.

б) Теперь давайте докажем, что любое число можно привести к виду 9..9?0..9 с помощью операций из пункта (а).

Для этого рассмотрим произвольное число, которое записывается в виде AB, где A - это число из одной цифры, а B - это число из одной или более цифр.

1) Если A > 0, то мы можем уменьшить A на 1 и увеличить B на 1 столько раз, сколько нужно, чтобы A стало равно 0. Затем мы можем уменьшить B на 1 и увеличить последнюю цифру B на 1, чтобы получить вид 9..9?0..9.

2) Если A = 0, то мы можем проделать операции из пункта (а) непосредственно с цифрами B, чтобы получить вид 9..9?0..9.

Таким образом, мы можем привести любое число к виду 9..9?0..9 с помощью операций из пункта (а).

в) Чтобы выяснить, когда число 9..9?0..0 будет делиться на 7, нам нужно рассмотреть свойство делимости на 7.

Число делится на 7, если разность между двумя последними цифрами числа, умноженная на 2, и оставшаяся часть числа (без последних двух цифр), также делится на 7.

В нашем случае, последние три цифры числа - это 0..0, и разность между двумя последними цифрами равна 0 - 0 = 0.

Таким образом, для того чтобы число 9..9?0..0 было делимо на 7, оставшаяся часть числа (без последних трех цифр) должна делиться на 7.

Например, если мы возьмем число 999 и добавим после него два нуля, получим число 99900. Оставшаяся часть числа (999) делится на 7, поэтому и всё число (99900) будет делиться на 7.

В общем случае, если мы возьмем число 9..9 и добавим после него m нулей (где m - любое натуральное число), оставшаяся часть числа (9..9) всегда будет делиться на 7.

Таким образом, число 9..9?0..0 будет делиться на 7 для любого натурального числа m.