3. What is the temperature of the Sun s surface, considering it can be represented as a perfectly black body with

Для решения этой задачи нам понадобится закон Стефана-Больцмана и модель Чёрного тела.

Закон Стефана-Больцмана утверждает, что мощность излучения чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его температуры. Он может быть записан следующим образом:

\[ P = \sigma \cdot A \cdot T^4 \]

где:
\( P \) - мощность излучения,
\( \sigma \) - постоянная Стефана-Больцмана (\( 5.67 \times 10^{-8}\, \text{Вт/(м}^2 \cdot \text{К}^4) \)),
\( A \) - площадь поверхности чёрного тела,
\( T \) - температура чёрного тела.

В задаче у нас уже дана мощность излучения Солнца (\( 4 \times 10^{26}\, \text{Вт} \)) и расстояние от Солнца до Земли (\( 1.49 \times 10^{11}\, \text{м} \)). Расстояние от Солнца до верхней атмосферы Земли используется для рассчёта площади поверхности чёрного тела (\( A \)). Мы также знаем, что радиационная энергия на одном квадратном метре в верхней атмосфере составляет \( 1.37 \times 10^3\, \text{Вт/м}^2 \) для длины волны \( 5.2 \times 10^{-7}\, \text{м} \).

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Рассчитаем площадь поверхности чёрного тела (Солнца):

Мы можем использовать формулу площади поверхности сферы:

\[ A = 4 \pi R^2 \]

где \( R \) - радиус Солнца.

Шаг 2: Рассчитаем температуру Солнца:

Используя формулу Стефана-Больцмана, мы можем решить уравнение относительно температуры \( T \):

\[ T = \left(\frac{P}{\sigma \cdot A}\right)^{\frac{1}{4}} \]

Шаг 3: Рассчитаем радиус Солнца:

Используя площадь поверхности, которую мы посчитали на первом шаге и известное расстояние до Солнца (\( 1.49 \times 10^{11}\, \text{м} \)), мы можем рассчитать радиус Солнца, используя следующую формулу:

\[ R = \sqrt{\frac{A}{4 \pi}} \]

Теперь давайте выполним все эти шаги для решения задачи.

Шаг 1: Рассчитаем площадь поверхности чёрного тела (Солнца):

\[ A = 4 \pi R^2 \]

Шаг 2: Рассчитаем температуру Солнца:

\[ T = \left(\frac{P}{\sigma \cdot A}\right)^{\frac{1}{4}} \]

Шаг 3: Рассчитаем радиус Солнца:

\[ R = \sqrt{\frac{A}{4 \pi}} \]