3. What is the temperature of the Sun s surface, considering it can be represented as a perfectly black body with

Для решения этой задачи нам понадобится закон Стефана-Больцмана и модель Чёрного тела.

Закон Стефана-Больцмана утверждает, что мощность излучения чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его температуры. Он может быть записан следующим образом:

$$P=\sigma \cdot A\cdot T^4$$

где:
$P$ - мощность излучения,
$\sigma$ - постоянная Стефана-Больцмана ($5.67\times {10}^{-8}{\text{Вт/(м}}^2\cdot {\text{К}}^4)$),
$A$ - площадь поверхности чёрного тела,
$T$ - температура чёрного тела.

В задаче у нас уже дана мощность излучения Солнца ($4\times {10}^{26}\text{Вт}$) и расстояние от Солнца до Земли ($1.49\times {10}^{11}\text{м}$). Расстояние от Солнца до верхней атмосферы Земли используется для рассчёта площади поверхности чёрного тела ($A$). Мы также знаем, что радиационная энергия на одном квадратном метре в верхней атмосфере составляет $1.37\times {10}^3{\text{Вт/м}}^2$ для длины волны $5.2\times {10}^{-7}\text{м}$.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Рассчитаем площадь поверхности чёрного тела (Солнца):

Мы можем использовать формулу площади поверхности сферы:

$$A=4\pi R^2$$

где $R$ - радиус Солнца.

Шаг 2: Рассчитаем температуру Солнца:

Используя формулу Стефана-Больцмана, мы можем решить уравнение относительно температуры $T$:

$$T={\left(\frac{P}{\sigma \cdot A}\right)}^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 3: Рассчитаем радиус Солнца:

Используя площадь поверхности, которую мы посчитали на первом шаге и известное расстояние до Солнца ($1.49\times {10}^{11}\text{м}$), мы можем рассчитать радиус Солнца, используя следующую формулу:

$$R=\sqrt{\frac{A}{4\pi }}$$

Теперь давайте выполним все эти шаги для решения задачи.

Шаг 1: Рассчитаем площадь поверхности чёрного тела (Солнца):

$$A=4\pi R^2$$

Шаг 2: Рассчитаем температуру Солнца:

$$T={\left(\frac{P}{\sigma \cdot A}\right)}^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 3: Рассчитаем радиус Солнца:

$$R=\sqrt{\frac{A}{4\pi }}$$