Какова длина хорды сферы (х + 2)2 + (у — 1)2 + + (х+3)2 = 16, которая проходит через ось абсцисс?

Для начала, давайте разберемся, что такое хорда сферы и как она связана с уравнением, данном в задаче.

Хорда сферы — это отрезок, соединяющий две точки на поверхности сферы. Определение хорды в данной задаче позволяет нам узнать, какова длина хорды, которая проходит через ось абсцисс (ось Ox).

Теперь давайте конкретизируем задачу, используя уравнение, данное в задаче: $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2+(x+3{)}^2=16$.

Чтобы решить эту задачу, у нас есть несколько подходов.
0. Можно найти точки пересечения сферы и оси абсцисс и вычислить расстояние между ними. Это было бы довольно сложно в данном случае, так как заданное уравнение не определяет явно сферу, а использует три переменные $x$, $y$ и $z$.

1. Отметим, что нам дано уравнение сферы $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2+(x+3{)}^2=16$, и нам нужно найти длину хорды, проходящей через ось абсцисс. Это означает, что нашей искомой хорде будет соответствовать точка на оси абсцисс.

2. Поскольку хорда сферы проходит через ось абсцисс, ее y-координата будет равна 0.

Подставим $y=0$ в уравнение сферы и решим его относительно $x$:
$(x+2{)}^2+(-1{)}^2+(x+3{)}^2=16$.
$x^2+4x+4+1+x^2+6x+9=16$.
Упростим: $2x^2+10x-2=0$.

3. Решим полученное квадратное уравнение с помощью метода дискриминанта. Вычислим значение дискриминанта $D$:
$D=b^2-4ac$,
где $a=2$, $b=10$, $c=-2$.

$D={10}^2-4\cdot 2\cdot -2$,
$D=100+16$,
$D=116$.

4. Теперь, найдя значение дискриминанта, мы можем определить, какие типы решений имеет уравнение.

- Если $D>0$, то уравнение имеет два различных вещественных корня. Это означает, что хорда пересекает ось абсцисс дважды.
- Если $D=0$, то уравнение имеет один вещественный корень двукратной кратности. В этом случае хорда касается оси абсцисс.
- Если $D<0$, то уравнение не имеет вещественных корней. Это означает, что хорда не пересекает ось абсцисс.

В нашем случае $D=116$, что означает, что у нас есть два различных вещественных корня. Давайте найдем эти корни, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
$x=(-b\pm \sqrt{D})/(2a)$.

Применяя эту формулу, мы получим:

$x_1=(-10+\sqrt{116})/(2\cdot 2)$,
$x_2=(-10-\sqrt{116})/(2\cdot 2)$.

Вычисляя числовые значения, получаем:
$x_1\approx 0.33$,
$x_2\approx -5.33$.

5. Теперь мы знаем, что хорда проходит через две точки $(x_1,0)$ и $(x_2,0)$. Чтобы найти длину хорды, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости:
$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$.

В нашем случае первая точка $(x_1,0)$, вторая точка $(x_2,0)$, поэтому $y_2-y_1=0-0=0$. Таким образом, формула для длины хорды упрощается:
$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2}$.

Подставим значения $x_1$ и $x_2$:
$d=\sqrt{(-5.33-0.33{)}^2}$,
$d=\sqrt{(-5.66{)}^2}$,
$d=\sqrt{32}$.

Таким образом, длина хорды сферы, проходящей через ось абсцисс, составляет $\sqrt{32}$ или примерно 5.66.

Для проверки можно взять другие точки хорды и рассчитать расстояние между ними, чтобы убедиться, что длина хорды действительно равна $\sqrt{32}$.