Какова длина хорды сферы (х + 2)2 + (у — 1)2 + + (х+3)2 = 16, которая проходит через ось абсцисс?

Для начала, давайте разберемся, что такое хорда сферы и как она связана с уравнением, данном в задаче.

Хорда сферы — это отрезок, соединяющий две точки на поверхности сферы. Определение хорды в данной задаче позволяет нам узнать, какова длина хорды, которая проходит через ось абсцисс (ось Ox).

Теперь давайте конкретизируем задачу, используя уравнение, данное в задаче: \((x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (x + 3)^2 = 16\).

Чтобы решить эту задачу, у нас есть несколько подходов.
0. Можно найти точки пересечения сферы и оси абсцисс и вычислить расстояние между ними. Это было бы довольно сложно в данном случае, так как заданное уравнение не определяет явно сферу, а использует три переменные \(x\), \(y\) и \(z\).

1. Отметим, что нам дано уравнение сферы \((x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (x + 3)^2 = 16\), и нам нужно найти длину хорды, проходящей через ось абсцисс. Это означает, что нашей искомой хорде будет соответствовать точка на оси абсцисс.

2. Поскольку хорда сферы проходит через ось абсцисс, ее y-координата будет равна 0.

Подставим \(y = 0\) в уравнение сферы и решим его относительно \(x\):
\((x + 2)^2 + (-1)^2 + (x + 3)^2 = 16\).
\(x^2 + 4x + 4 + 1 + x^2 + 6x + 9 = 16\).
Упростим: \(2x^2 + 10x - 2 = 0\).

3. Решим полученное квадратное уравнение с помощью метода дискриминанта. Вычислим значение дискриминанта \(D\):
\(D = b^2 - 4ac\),
где \(a = 2\), \(b = 10\), \(c = -2\).

\(D = 10^2 - 4 \cdot 2 \cdot -2\),
\(D = 100 + 16\),
\(D = 116\).

4. Теперь, найдя значение дискриминанта, мы можем определить, какие типы решений имеет уравнение.

- Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных вещественных корня. Это означает, что хорда пересекает ось абсцисс дважды.
- Если \(D = 0\), то уравнение имеет один вещественный корень двукратной кратности. В этом случае хорда касается оси абсцисс.
- Если \(D < 0\), то уравнение не имеет вещественных корней. Это означает, что хорда не пересекает ось абсцисс.

В нашем случае \(D = 116\), что означает, что у нас есть два различных вещественных корня. Давайте найдем эти корни, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\(x = (-b \pm \sqrt{D}) / (2a)\).

Применяя эту формулу, мы получим:

\(x_1 = (-10 + \sqrt{116}) / (2 \cdot 2)\),
\(x_2 = (-10 - \sqrt{116}) / (2 \cdot 2)\).

Вычисляя числовые значения, получаем:
\(x_1 \approx 0.33\),
\(x_2 \approx -5.33\).

5. Теперь мы знаем, что хорда проходит через две точки \((x_1,0)\) и \((x_2,0)\). Чтобы найти длину хорды, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости:
\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

В нашем случае первая точка \((x_1,0)\), вторая точка \((x_2,0)\), поэтому \(y_2 - y_1 = 0 - 0 = 0\). Таким образом, формула для длины хорды упрощается:
\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2}\).

Подставим значения \(x_1\) и \(x_2\):
\(d = \sqrt{(-5.33 - 0.33)^2}\),
\(d = \sqrt{(-5.66)^2}\),
\(d = \sqrt{32}\).

Таким образом, длина хорды сферы, проходящей через ось абсцисс, составляет \(\sqrt{32}\) или примерно 5.66.

Для проверки можно взять другие точки хорды и рассчитать расстояние между ними, чтобы убедиться, что длина хорды действительно равна \(\sqrt{32}\).