Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если его площадь равна 49 корней из 3 2 и один из острых углов

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать знания о свойствах прямоугольных треугольников и тригонометрии. Давайте разберемся по шагам:

Шаг 1: Зная площадь треугольника, мы можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b,\]

где \(S\) - площадь, \(a\) и \(b\) - катеты треугольника.

Подставляя известные значения, получаем:

\[49\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b.\]

Шаг 2: Теперь нам нужно выразить один из катетов через другой и угол. Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением для прямоугольного треугольника:

\[\sin(\theta) = \frac{a}{c},\]

где \(\theta\) - угол между гипотенузой и одним из катетов, \(a\) - катет, \(c\) - гипотенуза.

Мы знаем, что один из острых углов равен 60°, поэтому \(\theta = 60°\). Подставляя в формулу, получаем:

\[\sin(60°) = \frac{a}{c}.\]

Шаг 3: Найдем значение синуса 60°. Здесь нам понадобится таблица тригонометрических значений или калькулятор. Синус 60° равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Теперь мы можем записать:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{c}.\]

Шаг 4: Теперь нам нужно найти выражение для катета \(a\) через гипотенузу \(c\). Переставляя числа и домножая обе части уравнения на \(c\), получаем:

\[a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c.\]

Шаг 5: Подставим это выражение для \(a\) в формулу площади треугольника:

\[49\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c\right) \cdot b.\]

Шаг 6: Упростим это уравнение:

\[49\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot c \cdot b.\]

Шаг 7: Чтобы упростить запись, заменим \(\sqrt{\frac{3}{2}}\) на \(x\):

\[49x = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot c \cdot b.\]

Теперь мы получили выражение для \(x\), площади треугольника, через \(c\) и \(b\).

Шаг 8: Известно, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы:

\[a^2 + b^2 = c^2.\]

Шаг 9: Мы знаем, что один из острых углов равен 60°, поэтому у нас есть следующее соотношение:

\[a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c.\]

Мы можем использовать это соотношение, чтобы заменить \(a\) в уравнении:

\[\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c\right)^2 + b^2 = c^2.\]

Шаг 10: Упростим это уравнение:

\[\frac{3}{4} \cdot c^2 + b^2 = c^2.\]

Шаг 11: Чтобы упростить запись, заменим \(\frac{3}{4}\) на \(y\):

\[y \cdot c^2 + b^2 = c^2.\]

Теперь мы получили выражение для \(y\) через \(c\) и \(b\).

Шаг 12: Мы получили два уравнения:

\[49x = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot c \cdot b,\]
\[y \cdot c^2 + b^2 = c^2.\]

Мы можем решить эту систему уравнений численно или графически, чтобы найти значения \(b\) и \(c\).