3. В треугольнике MNP даны следующие данные: угол P равен 90 градусов, MP = 6, PN = 8, PE — медиана. Через вершину

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.

У нас есть треугольник MNP, где угол P равен 90 градусов. Мы также знаем, что MP = 6 и PN = 8.

Дано, что PE является медианой треугольника MNP. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Обозначим середину стороны MN как точку Q.

Итак, у нас есть треугольник MNP с вершинами M, N и P, и точкой Q на стороне MN.

Теперь рассмотрим прямую RK, проведенную через вершину P и перпендикулярную плоскости треугольника MNP. Мы знаем, что RK = 12.

Нам необходимо найти длину отрезка PE.

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойства медиан треугольника и теорему Пифагора.

На первом шаге найдем длину отрезка PQ, который является половиной стороны MN:

\[PQ = \frac{1}{2} \cdot MN\]
\[PQ = \frac{1}{2} \cdot (MP + PN)\]
\[PQ = \frac{1}{2} \cdot (6 + 8)\]
\[PQ = \frac{1}{2} \cdot 14\]
\[PQ = 7\]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике PQR, где PR является гипотенузой, PQ - одним катетом, и QR - другим катетом:

\[PR^2 = PQ^2 + QR^2\]

Мы знаем, что угол P равен 90 градусов, поэтому треугольник PQR прямоугольный.

Подставим известные значения:

\[PR^2 = 7^2 + QR^2\]
\[PR^2 = 49 + QR^2\]

Также у нас есть информация о длине отрезка RK:

\[RK = PR - PK\]

Заметим, что отрезок PK - это половина длины отрезка RK:

\[PK = \frac{1}{2} \cdot RK\]
\[PK = \frac{1}{2} \cdot 12\]
\[PK = 6\]

Теперь мы можем выразить отрезок QR через отрезки PQ и PK:

\[QR = PR - PK\]
\[QR = PR - 6\]

Подставим это значения в уравнение теоремы Пифагора:

\[PR^2 = 49 + (PR - 6)^2\]

Раскроем скобки:

\[PR^2 = 49 + (PR^2 - 12PR + 36)\]

Упростим уравнение:

\[0 = 85 - 12PR\]
\[12PR = 85\]
\[PR = \frac{85}{12}\]

Теперь мы знаем длину гипотенузы PR. Чтобы найти длину отрезка PE, удвоим это значение:

\[PE = 2 \cdot PR\]
\[PE = 2 \cdot \frac{85}{12}\]
\[PE = \frac{170}{12}\]
\[PE = \frac{85}{6}\]

Таким образом, длина отрезка PE равна \(\frac{85}{6}\).