3. Найдите интервалы, на которых функция возрастает и убывает. Точки экстремума. Функция f(x) =x3 +4х2-37​

Чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает и убывает, а также точки экстремума функции \(f(x) = x^3 + 4x^2 - 37\), мы должны проанализировать производную этой функции.

Шаг 1: Найдем производную функции \(f(x)\).
Производная функции \(f(x)\) будет равна \(f"(x) = 3x^2 + 8x\).

Шаг 2: Найдем значения \(x\), для которых производная равна нулю.
Решим уравнение \(f"(x) = 0\):
\[3x^2 + 8x = 0\]

Мы можем разложить это уравнение на множители:
\[x(3x + 8) = 0\]

Решим каждый множитель отдельно:
1) \(x = 0\)
2) \(3x + 8 = 0 \Rightarrow 3x = -8 \Rightarrow x = -\frac{8}{3}\)

Таким образом, получаем две точки, в которых производная равна нулю: \(x = 0\) и \(x = -\frac{8}{3}\).

Шаг 3: Составим таблицу знаков для производной, используя найденные значения \(x\) и производную \(f"(x)\):
\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & -\frac{8}{3} & +\infty \\
\hline
f"(x) & - & 0 & +
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что на интервале \((-\infty, -\frac{8}{3})\) функция убывает, на интервале \((- \frac{8}{3}, 0)\) функция возрастает, и на интервале \((0, +\infty)\) функция также возрастает.

Шаг 4: Найдем значения функции в критических точках и на границах интервалов.
Вычислим значения функции \(f(x)\) в найденных критических точках и на границах интервалов:
1) \(f(-\frac{8}{3}) = (-\frac{8}{3})^3 + 4(-\frac{8}{3})^2 - 37\)
2) \(f(0) = 0^3 + 4 \cdot 0^2 - 37\)

После вычислений получаем следующие значения:
1) \(f(-\frac{8}{3}) \approx -31.37\)
2) \(f(0) = -37\)

Таким образом, точка экстремума функции \(f(x) = x^3 + 4x^2 - 37\) находится в точке \(\left(-\frac{8}{3}, -31.37\right)\).

Итак, интервалы, на которых функция возрастает, это \((- \frac{8}{3}, 0)\) и \((0, +\infty)\). Интервал, на котором функция убывает, это \((-\infty, -\frac{8}{3})\). Точка экстремума находится в точке \(\left(-\frac{8}{3}, -31.37\right)\).