3. Какова вероятность того, что из следующих 7 лет будет 5 годов с урожаем? 6. Какова вероятность нормальной работы

3. Чтобы найти вероятность того, что из 7 лет будет 5 годов с урожаем, мы можем использовать биномиальное распределение вероятности. Формула для нахождения вероятности биномиального события выглядит следующим образом:

\[P(X=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
- \(P(X=k)\) - вероятность того, что событие произойдет ровно \(k\) раз
- \(C(n, k)\) - число сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) (количество способов выбрать \(k\) элементов из набора из \(n\) элементов)
- \(p\) - вероятность наступления события в каждом испытании
- \(n\) - общее количество испытаний (в данном случае - лет)

В данной задаче, \(n = 7\) (всего 7 лет), \(k = 5\) (из них 5 с урожаем) и \(p = \frac{1}{2}\) (так как каждый год может быть с урожаем или без).

Подставив значения в формулу, получим:
\[P(X=5) = C(7, 5) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{7-5}\]

Вычислим:

\[P(X=5) = \binom{7}{5} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 21 \cdot \frac{1}{32} \cdot \frac{1}{4} = \frac{21}{128} \approx 0.164\]

Итак, вероятность того, что из 7 лет будет ровно 5 годов с урожаем, составляет примерно 0.164.

6. Для нахождения вероятности нормальной работы автобазы в ближайший день, нам необходимо знать вероятность того, что на линии будет не менее 8 машин. Допустим, что вероятность того, что каждая машина окажется на линии - \(p\) и это событие независимо от других машин.

Вероятность того, что на линии будет не менее 8 машин, можно рассчитать как сумму вероятностей того, что на линии будет 8, 9, 10, 11 и 12 машины (так как это минимальное значение для нормальной работы автобазы).

Мы можем использовать биномиальное распределение вероятности, чтобы найти вероятность каждого значения. Формула остается той же, как в предыдущей задаче, но с некоторыми изменениями соответственно.

Пусть \(n = 12\) (количество машин) и \(k\) принимает значения от 8 до 12.

Тогда вероятность нормальной работы автобазы можно записать следующим образом:

\[P(X \geq 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) + P(X=11) + P(X=12)\]

Где каждое \(P(X=k)\) можно найти с помощью формулы биномиального распределения вероятности:

\[P(X=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Очевидно, что \(p \geq \frac{1}{2}\), так как должно быть не менее 8 машин.

Итак, необходимо найти сумму этих пяти вероятностей для получения искомого значения. Мы можем использовать формулу биномиального коэффициента для каждого значения \(P(X=k)\) и подставить вероятность \(p\) в выражение:

\[P(X \geq 8) = \sum_{k=8}^{12} \binom{12}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{12-k}\]

Аппроксимируем значение, предположив \(p = \frac{1}{2}\):

\[P(X \geq 8) \approx \sum_{k=8}^{12} \binom{12}{k} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{12-k}\]

Рассчитаем это значение:

\[P(X \geq 8) \approx \binom{12}{8} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 + \binom{12}{9} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^9 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \binom{12}{10} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \binom{12}{11} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{11} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 + \binom{12}{12} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{12} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0\]

Вычислим:

\[P(X \geq 8) \approx 0.301\]

Таким образом, вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день составляет примерно 0.301.

9. Чтобы найти вероятность того, что 85% граждан, взявших потребительский кредит, выполнят первый платеж вовремя из 500 граждан, которым были выданы потребительские кредиты в течение месяца, нам также потребуется использовать биномиальное распределение вероятности.

Пусть \(n = 500\) (количество граждан, которым были выданы кредиты), \(k\) - количество граждан, выполнивших первый платеж вовремя (в данном случае \(k = 0.85 \times 500 = 425\)) и \(p = 0.85\) (вероятность того, что гражданин выполняет платеж вовремя).

Тогда вероятность выплаты первого платежа вовремя будет:

\[P(X=425) = C(500, 425) \cdot (0.85)^{425} \cdot (1-0.85)^{75}\]

Подставим значения и рассчитаем:

\[P(X=425) = \binom{500}{425} \cdot (0.85)^{425} \cdot (0.15)^{75} \approx 0.070\]

Таким образом, вероятность того, что 85% граждан, взявших кредит, выполнят первый платеж вовремя из 500 граждан, составляет примерно 0.070.