Чему равен десятый элемент геометрической прогрессии, если b9b11=16?

Чтобы найти десятый элемент геометрической прогрессии, нам сначала нужно определить знаменатель прогрессии. Для этого нам понадобится информация о двух соседних элементах - \(b_9\) и \(b_{11}\).

Используем формулу для общего члена геометрической прогрессии:

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]

где \(b_n\) - \(n\)-й элемент прогрессии, \(b_1\) - первый элемент прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии.

У нас есть информация о \(b_9 = 16\) и \(b_{11}\). Подставим эти значения в формулу:

\[b_9 = b_1 \cdot q^{9-1} = 16\]
\[b_{11} = b_1 \cdot q^{11-1}\]

Теперь найдём отношение:

\[\frac{{b_{11}}}{{b_9}} = \frac{{b_1 \cdot q^{11-1}}}{{b_1 \cdot q^{9-1}}} = q^2\]

Из условия задачи нам дано, что \(\frac{{b_{9}}}{{b_{11}}} = 16\). Заметим, что отношение \(\frac{{b_{11}}}{{b_9}}\) обратно пропорционально отношению \(\frac{{b_9}}{{b_{11}}}\):

\[\frac{{b_{11}}}{{b_9}} \cdot \frac{{b_9}}{{b_{11}}} = 1\]

\[\frac{{b_{11}}}{{b_9}} \cdot 16 = 1\]

Разделим обе части уравнения на 16:

\[\frac{{b_{11}}}{{b_9}} = \frac{1}{16}\]

Теперь мы можем записать равенство отношения через квадрат знаменателя:

\[\frac{{b_{11}}}{{b_9}} = q^2 = \frac{1}{16}\]

Из этого уравнения мы можем найти знаменатель прогрессии, возведя обе части в степень 1/2:

\[q = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}\]

Теперь, когда у нас есть значение знаменателя \(q\), мы можем использовать его в исходной формуле, чтобы найти десятый элемент геометрической прогрессии:

\[b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^9\]

Вот пошаговое решение задачи с обоснованием каждого шага. Если есть ещё вопросы, пожалуйста, спрашивайте!