3. Как меняется производительность труда в течение рабочего дня согласно формуле p(t)=-0.2t2+1.6t+3? Постройте график

Для начала, мы должны понять, как меняется производительность труда в течение рабочего дня с помощью данной формулы \(p(t) = -0.2t^2 + 1.6t + 3\), где \(p(t)\) обозначает производительность в зависимости от времени \(t\).

а) Чтобы найти время, когда производительность труда достигает своего максимума, нужно найти вершину параболы заданной функции. Мы можем найти вершину, используя формулу \(t = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты в нашем уравнении.

В нашем случае, мы имеем уравнение \(p(t) = -0.2t^2 + 1.6t + 3\), где \(a = -0.2\) и \(b = 1.6\).

Подставляя значения, получаем \(t = -\frac{1.6}{2(-0.2)}\).
Упрощая выражение, получаем \(t = -\frac{1.6}{-0.4} = 4\) часа.

Таким образом, производительность труда достигает своего максимума через 4 часа.

б) Чтобы определить интервалы возрастания и убывания производительности труда, нам нужно проанализировать знак производной функции \(p"(t)\). Знак производной скажет нам, является ли функция возрастающей или убывающей в данном интервале.

Для нашей функции, \[p"(t) = \frac{dp}{dt} = -0.4t + 1.6\]

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, мы должны найти значения \(t\), при которых \(p"(t)\) равно 0.

Подставляя значения, получаем \(-0.4t + 1.6 = 0\)
Решая уравнение, получаем \(-0.4t = -1.6\) и \(t = 4\).

Таким образом, мы видим, что \(p"(t)\) равно 0 при \(t = 4\).
Следовательно, производительность труда возрастает до 4 часов и убывает после 4 часов.

Чтобы определить, когда производительность труда выше, чем через 1 час или 5 часов после начала рабочего дня, мы можем подставить значения \(t\) в исходную функцию \(p(t)\) и сравнить результаты.

- Через 1 час: \(p(1) = -0.2(1)^2 + 1.6(1) + 3 = 3.4\)
- Через 5 часов: \(p(5) = -0.2(5)^2 + 1.6(5) + 3 = 9.2\)

Таким образом, производительность труда выше, чем через 1 час или 5 часов после начала рабочего дня, равна 3.4 или 9.2 соответственно.