2. Каков результат деления C(3 сверху,12 снизу) на А(3 сверху,12 снизу)? 3. Какое значение переменной x решает

2. Результат деления \(\binom{3}{12}\) можно найти, применив формулу для биномиального коэффициента: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n\) - число элементов в множестве, а \(k\) - число элементов, которые нужно выбрать из этого множества.

В данном случае у нас есть \(n=12\) элементов в основном множестве и \(k=3\) элемента, которые нужно выбрать. Подставим значения в формулу:

\[
\binom{3}{12} = \frac{12!}{3!(12-3)!}
\]

Вычислим числитель:

\[
12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

Вычислим знаменатель:

\[
3! = 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

\[
12-3 = 9 \quad \textrm{(вычитаем)} \quad 3 \quad \textrm{(вычисленное значение)}
\]

Теперь, подставляя значения числителя и знаменателя в формулу для биномиального коэффициента, получим ответ:

\[
\binom{3}{12} = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}
\]

Вычислив числитель и знаменатель, получаем:

\[
\binom{3}{12} = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220
\]

Итак, результат деления \(\binom{3}{12}\) равен 220.

3. Чтобы найти значение переменной \(x\), которое решает уравнение \(\binom{2}{x+3} = 6\), мы должны решить уравнение биномиального коэффициента.

Применим формулу для биномиального коэффициента: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\). В данном случае у нас есть \(\binom{2}{x+3} = 6\), где \(n=2\) и \(k=x+3\).

Подставим значения в формулу:

\(\frac{2!}{(x+3)!(2-(x+3))!} = 6\)

Вычислим значения числителя и знаменателя:

2! = 2 * 1 = 2

(x+3)! = (x+3) * (x+2) * (x+1) * x!

2 - (x+3) = 2 - x - 3 = - x - 1

Подставим значения в формулу:

\(\frac{2}{(x+3)(x+2)(x+1)x!} = 6\)

Теперь перенесём 6 в числитель:

\(2 = 6(x+3)(x+2)(x+1)x!\)

2(x+3)(x+2)(x+1)x! = 6

Раскроем скобки:

2(x^3 + 9x^2 + 26x + 18)x! = 6

Домножим обе части уравнения на x! и разделим на 2:

\((x^3 + 9x^2 + 26x + 18)x! = 3\)

\(x^3 + 9x^2 + 26x + 18 = \frac{3}{x!}\)

Решим это кубическое уравнение:

\(x^3 + 9x^2 + 26x + 18 - \frac{3}{x!} = 0\)

К сожалению, в данном случае для получения конкретного значения \(x\) потребуется более сложное решение, например, использование численных методов или графический метод.

5. Чтобы выяснить, сколько различных кодов можно составить, удовлетворяющих указанному условию, нужно умножить количество вариантов выбора трех последовательных букв из набора \(\{б, в, г, д, ж, з\}\) на количество вариантов составления четырехзначного числа с использованием цифр \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\).

Количество вариантов выбора трех последовательных букв из шести возможных рассчитывается по формуле сочетаний: \(\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!}\).

Подставим значения в формулу:

\(\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!}\)

Вычислим значения числителя и знаменателя:

\(6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)

\(3! = 3 \cdot 2 \cdot 1\)

\(6 - 3 = 3\)

Подставим значения в формулу:

\(\binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\)

Таким образом, есть 20 вариантов выбора трех последовательных букв.

Количество вариантов составления четырехзначного числа с использованием цифр \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) равно \(5^4\), так как каждая цифра может быть выбрана из пяти доступных вариантов, и это повторяется четыре раза.

Таким образом, количество различных кодов, удовлетворяющих условию, можно найти, умножив количество вариантов выбора трех последовательных букв на количество вариантов составления четырехзначного числа:

\(20 \cdot 5^4 = 20 \cdot 625 = 12,500\)

Итак, можно составить 12,500 различных кодов, удовлетворяющих указанному условию.