Найдите расстояние между сёлами A и B, если из двух сёл вышли навстречу друг другу два пешехода. При встрече оказалось

Пусть расстояние между сёлами A и B равно \(d\) км. Из условия задачи известно, что при встрече первый пешеход прошел на 2 км больше, чем второй пешеход. Обозначим расстояния, которые прошли первый и второй пешеходы соответственно, как \(x\) и \(x - 2\) км.

Таким образом, расстояния, которые прошли первый и второй пешеходы в сумме, равны расстоянию между сёлами A и B:
\[x + (x - 2) = d.\]

По условию задачи также известно, что первый пешеход после встречи продолжал свой путь и через 40 минут (или 2/3 часа) прибыл в село B. То есть, он прошел расстояние \(d\) за время \(1,5 + 2/3\) часа. Тут мы учитываем также время, которое первый пешеход уже потратил на встречу с вторым пешеходом:
\(\frac{d}{1,5 + 2/3}\) км/ч.

Также из условия задачи известно, что второй пешеход через 1,5 часа прибыл в село B. То есть, он прошел расстояние \(x - 2\) за время 1,5 часа:
\(\frac{x - 2}{1,5}\) км/ч.

Теперь мы можем записать систему уравнений на основе данных:

\[
\begin{cases}
x + (x - 2) = d \\
\frac{d}{1,5 + 2/3} = \frac{x - 2}{1,5}
\end{cases}
\]

Давайте решим эту систему уравнений.

Первое уравнение можно упростить:
\(2x - 2 = d.\)

Теперь подставим полученное выражение для \(d\) из первого уравнения во второе уравнение:
\(\frac{2x - 2}{1,5 + 2/3} = \frac{x - 2}{1,5}.\)

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на \(1,5 (1,5 + 2/3)\):
\(1,5 (2x - 2) = (x - 2) (1,5 + 2/3).\)

Раскроем скобки:
\(3x - 3 = (x - 2) (3 + 4/3).\)

Упростим выражение справа:
\(3x - 3 = (x - 2) \cdot \frac{13}{3}.\)

Распределим множитель слева:
\(3x - 3 = \frac{13}{3} x - \frac{26}{3}.\)

Вычтем \(\frac{13}{3} x\) из обеих частей уравнения и сложим -3 и \(\frac{26}{3}\):
\(\frac{4}{3} x = \frac{17}{3}.\)

Умножим обе части уравнения на \(\frac{3}{4}\):
\(x = \frac{17}{4}.\)

Теперь мы можем найти расстояние между сёлами A и B. Подставим найденное значение \(x\) в первое уравнение:
\(\frac{17}{4} + \left(\frac{17}{4} - 2\right) = d.\)

Приведем выражение к общему знаменателю:
\(\frac{17}{4} + \frac{17}{4} - \frac{8}{4} = d.\)

Соберем числа в выражении:
\(\frac{34 - 8}{4} = d.\)

Упростим числитель:
\(\frac{26}{4} = d.\)

Выразим \(d\) в наименьшей кратной:
\(d = \frac{13}{2}.\)

Итак, расстояние между сёлами A и B равно \(\frac{13}{2}\) км.