1) Найти кратчайшее расстояние от проектора до экрана b высотой 120 см, при котором он будет полностью освещен, если

Для того чтобы решить эти задачи, мы будем использовать принцип подобия треугольников. Подобные треугольники имеют равные отношения длин сторон.

1) Так как проектор находится на расстоянии 105 см от экрана, а экран имеет высоту 120 см, мы можем обозначить расстояние, которое нужно найти, как \(x\) (в сантиметрах).

Получим следующее соотношение по принципу подобия треугольников:
\(\frac{x}{105} = \frac{120}{x}\)

Для удобства дальнейших расчетов, домножим оба равенства на \(x\):
\(x^2 = 105 \cdot 120\)

Вычислим правую часть уравнения:
\(x^2 = 12600\)

Чтобы найти значение \(x\), возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:
\(x = \sqrt{12600} \approx 112,24\) см

Ответ: кратчайшее расстояние от проектора до экрана, при котором он будет полностью освещен, составляет около 112,24 см.

2) Для решения этой задачи также воспользуемся принципом подобия треугольников и соотношением между длинами рычагов.

Обозначим изменение высоты конца короткого плеча как \(\Delta h\) (в метрах). Тогда изменение высоты конца длинного плеча будет составлять \(\Delta H\) (в метрах).

Получим следующее соотношение по принципу подобия треугольников:
\(\frac{\Delta H}{3} = \frac{\Delta h}{6}\)

Перейдем к вычислениям и найдем значение \(\Delta H\):
\(\Delta H = \frac{\Delta h \cdot 6}{3} = \Delta h \cdot 2\)

Следовательно, изменение высоты конца длинного плеча будет равно удвоенному изменению высоты конца короткого плеча.

Ответ: конец длинного плеча рычага опустится на 0,8 метра при поднятии конца короткого плеча на 0,4 метра.

3) Для решения этой задачи нам необходимо более полное описание. Для данного рисунка недостаточно информации, чтобы вычислить требуемую величину. Пожалуйста, предоставьте дополнительные данные о рычаге, чтобы мы смогли решить задачу.