2.2. What is the acceleration at which the rocket takes off if a mathematical pendulum oscillating inside the rocket

Данная задача связана с ракетой, математическим маятником и их движением. Давайте рассмотрим ее шаг за шагом:

1. Первым шагом будет определение основных понятий. У нас есть ракета, внутри которой находится математический маятник, и этот маятник колеблется. В условии сказано, что когда ракета движется вверх с некоторым ускорением, период колебаний маятника уменьшается вдвое.

2. Нам нужно найти ускорение, с которым ракета взлетает. Для этого воспользуемся уравнением периода колебаний математического маятника. Период \(T\) связан с ускорением свободного падения \(g\) (которое приближенно равно 9.8 м/с^2) и длиной маятника \(L\) следующим образом:

\[
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
\]

3. По условию задачи период колебаний уменьшается вдвое, когда ракета движется вверх. Период нового колебания обозначим как \(T"\). Таким образом, \(T" = \frac{T}{2}\).

4. Подставим полученное значение \(T"\) в уравнение периода колебаний:

\[
\frac{T}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
\]

5. Разделим обе части уравнения на 2:

\[
\frac{T}{4} = \pi \sqrt{\frac{L}{g}}
\]

6. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[
\left(\frac{T}{4}\right)^2 = \pi^2 \frac{L}{g}
\]

7. Упростим полученное выражение:

\[
\frac{T^2}{16} = \pi^2 \frac{L}{g}
\]

8. Теперь разделим обе части уравнения на \(\pi^2\) и умножим на \(\frac{g}{L}\):

\[
\frac{T^2}{16\pi^2} \cdot \frac{g}{L} = 1
\]

9. Заметим, что ускорение свободного падения \(g\) и длина маятника \(L\) не меняются при движении ракеты, поэтому значения этих величин можно считать постоянными. Тогда уравнение можно записать следующим образом:

\[
\frac{T^2}{16\pi^2} \cdot \frac{g}{L} = 1
\]

10. Выразим ускорение \(a\) (ускорение ракеты) через период колебания \(T\):

\[
a = \frac{T^2 \cdot g}{16\pi^2 \cdot L}
\]

Таким образом, мы получили выражение для ускорения, с которым ракета взлетает, исходя из условий задачи. Используя это выражение, можно найти точное значение ускорения, подставив известные значения \(T\), \(L\) и \(g\).