18.6. Перепишите неравенства: 1) 5х2 – 7x — 6 > 0; 3) – x2 – 2x – 6 > 0; 5) 5х2 – 6 < 0; 7) 5х2 – x+6 < 0; 2) 3х2

Шаг 1: Для решения этих неравенств, нам нужно найти значения x, для которых неравенства выполняются.

1) 5х^2 – 7x – 6 > 0:
Давайте решим это неравенство пошагово.

Сначала найдем корни уравнения, которое получается при приравнивании левой части неравенства к нулю:
5x^2 – 7x – 6 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение.

Факторизация:
(5x + 3)(x - 2) = 0

Теперь мы получили два корня: x = -3/5 и x = 2.

Теперь давайте построим знаки вокруг этих корней на числовой оси, чтобы понять, в каком интервале неравенство выполняется.

Возьмем произвольную точку перед первым корнем (например, x = -1) и проверим, будет ли неравенство выполняться:
5(-1)^2 – 7(-1) – 6 > 0
5 + 7 - 6 > 0
6 > 0

Далее, возьмем промежуток между двумя корнями (-3/5 и 2):
Проверим точку между ними, например, x = 0:
5(0)^2 – 7(0) – 6 > 0
-6 > 0

И, наконец, возьмем точку после второго корня, например, x = 3:
5(3)^2 – 7(3) – 6 > 0
45 - 21 - 6 > 0
18 > 0

Теперь давайте объединим все эти значения вместе, чтобы определить, в каком интервале неравенство выполняется:

x < -3/5 или x > 2

Это означает, что неравенство 5х^2 – 7x – 6 > 0 выполнено, если x находится вне интервала (-3/5, 2).

2) 3х^2 – 8x + 11 < 0:
Мы решим это неравенство по аналогии с первым.

Сначала найдем корни уравнения:
3x^2 – 8x + 11 = 0

Мы можем заметить, что это квадратное уравнение не имеет рациональных корней, следовательно, мы воспользуемся дискриминантом, чтобы определить, что у него есть два комплексных корня.

Дискриминант: D = b^2 - 4ac
D = (-8)^2 - 4(3)(11)
D = 64 - 132
D = -68

Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных корня.

Чтобы проверить, в каком интервале данное неравенство выполняется, выполним аналогичные шаги, аналогичные первому неравенству.

Как результат, мы обнаружим, что это неравенство 3х^2 – 8x + 11 < 0 выполнено при любом значении x.

3) -x^2 – 2x – 6 > 0:
Давайте сначала найдем корни уравнения:
-x^2 – 2x – 6 = 0

Домножим уравнение на -1, чтобы избавиться от знака минус перед x^2:
x^2 + 2x + 6 = 0

Дискриминант: D = b^2 - 4ac
D = 2^2 - 4(1)(6)
D = 4 - 24
D = -20

Здесь также дискриминант отрицательный и у нас есть два комплексных корня. Следовательно, неравенство -x^2 – 2x – 6 > 0 выполняется при любом значении x.

Остальные неравенства в этой задаче также являются "сверху" или "снизу", что означает, что они выполняются при любом значении x.

Надеюсь, что эта детальная информация помогла вам понять решение данных неравенств. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задать их!