18.5. Please solve the following quadratic inequalities: 1) x2 - x - 56 > 0; 2) -x2 + x + 72 > 0; 3) x2 + x - 90

Решим поставленные квадратные неравенства по очереди:

1) \(x^2 - x - 56 > 0\)

Чтобы решить это неравенство, сначала найдем его корни, решив квадратное уравнение \(x^2 - x - 56 = 0\). Мы можем найти корни с помощью факторизации или используя квадратную формулу.

Произведение и сумма корней в данном случае равны:

\[\text{произведение} = a \cdot c = 1 \cdot (-56) = -56\]
\[\text{сумма} = -1\]

Теперь нам нужно найти два числа, которые имеют произведение -56 и сумму -1. В данном случае такими числами будут 8 и -7. Теперь мы можем записать квадратное уравнение в виде:

\[x^2 - x - 56 = (x - 8)(x + 7) > 0\]

Теперь рассмотрим знаки многочлена в каждом из трех интервалов: \((- \infty, -7)\), \((-7, 8)\), и \((8, + \infty)\).

1. В интервале \((- \infty, -7)\) оба множителя \((x - 8)\) и \((x + 7)\) отрицательны. При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Значит, на этом интервале неравенство выполняется.

2. В интервале \((-7, 8)\) множитель \((x + 7)\) положительный (+), а множитель \((x - 8)\) отрицательный (-). При умножении положительного и отрицательного числа получается отрицательное число. Значит, на этом интервале неравенство не выполняется.

3. В интервале \((8, + \infty)\) оба множителя положительны. При умножении двух положительных чисел получается положительное число. Значит, на этом интервале неравенство выполняется.

Таким образом, решением неравенства \(x^2 - x - 56 > 0\) является интервал \((- \infty, -7) \cup (8, + \infty)\).

2) \(-x^2 + x + 72 > 0\)

Аналогично первому примеру, найдем корни уравнения \(-x^2 + x + 72 = 0\):

\[\text{произведение} = a \cdot c = (-1) \cdot 72 = -72\]
\[\text{сумма} = 1\]

Числа, имеющие произведение -72 и сумму 1, являются 9 и -8. Теперь записываем уравнение в виде:

\(-x^2 + x + 72 = -(x - 9)(x + 8) > 0\)

Рассмотрим знаки многочлена в каждом из трех интервалов: \((- \infty, -8)\), \((-8, 9)\), и \((9, + \infty)\).

1. В интервале \((- \infty, -8)\) множители \((x - 9)\) и \((x + 8)\) отрицательны. При умножении двух отрицательных чисел получится положительное число. Значит, на этом интервале неравенство выполняется.

2. В интервале \((-8, 9)\) множитель \((x + 8)\) положительный, а множитель \((x - 9)\) отрицательный. При умножении положительного и отрицательного числа получится отрицательное число. Значит, на этом интервале неравенство не выполняется.

3. В интервале \((9, + \infty)\) оба множителя положительны. При умножении двух положительных чисел получается положительное число. Значит, на этом интервале неравенство выполняется.

Итак, решением неравенства \(-x^2 + x + 72 > 0\) является интервал \((- \infty, -8) \cup (9, + \infty)\).

Продолжение следует...