Тіктөртбұрыштың екі жағасының арасы 3-см-ге кем, бірақ ауданы 180см². Тіктөртбұрыштың қабырғалары мен периметрін

Хорошо, давайте решим задачу. Итак, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором один из катетов меньше 3 см. При этом известно, что площадь треугольника равна 180 см². Нам нужно найти длины сторон и периметр треугольника.

Для начала обратимся к формуле для площади прямоугольного треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b,\]
где S - площадь треугольника, a и b - длины катетов.

Подставим известные значения и получим уравнение:
\[180 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b.\]

Далее, зная, что один из катетов меньше 3 см, обозначим меньший катет через х:
\[180 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 3).\]

Упростим это уравнение:
\[360 = x \cdot (x + 3).\]

Раскроем скобки:
\[360 = x^2 + 3x.\]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:
\[x^2 + 3x - 360 = 0.\]

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac,\]
где a, b, c - коэффициенты уравнения.

Подставим значения:
\[D = (3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 9 + 1440 = 1449.\]

Так как D больше нуля, имеем два различных корня уравнения:
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Вычислим значения:
\[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1449}}{2} \approx 18.36\, \text{см}\]
\[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1449}}{2} \approx -21.36\, \text{см}\]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, отбросим второй корень и возьмем только первый корень.

Таким образом, меньший катет составляет около 18.36 см. Для нахождения большего катета, прибавим 3 к этому значению:
\[x_1 + 3 \approx 21.36\, \text{см}.\]

Теперь мы можем найти периметр треугольника. Периметр - это сумма длин всех сторон треугольника.
\[P = x_1 + x_1 + x_1 + 3 = 3x_1 + 3 \approx 3 \cdot 18.36 + 3 \approx 60.08\, \text{см}.\]

Итак, меньший катет составляет около 18.36 см, больший катет - около 21.36 см, а периметр треугольника примерно равен 60.08 см.