17 см ауданына қарапайым үшбұрыштың гипотенузасыңызды табыңыз. Алдағы шеңбернің радиусы 3 см-ге тең болатын

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом. Начнем с определения гипотенузы и катетов. В прямоугольном треугольнике гипотенуза - это самая длинная сторона, которая находится напротив прямого угла. Катеты - это две короткие стороны треугольника, которые образуют прямой угол.

У нас дано, что радиус аудана составляет 3 см, что означает, что его диаметр равен 6 см. Зная диаметр, мы можем найти длину стороны квадрата, так как она равна диаметру (6 см).

Теперь нам нужно найти катеты этого прямоугольного треугольника. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть один катет треугольника будет \(a\), а другой \(b\). Тогда гипотенуза равна \(\sqrt{a^2 + b^2}\).

В нашей задаче у нас есть сторона квадрата, равная 6 см. Пусть один катет равен \(x\) см, а другой катет равен \(y\) см.

Таким образом, у нас есть система уравнений:
\[
\begin{align*}
x + y &= 6 \\
x^2 + y^2 &= 17^2
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения \(x\) и \(y\).

Из первого уравнения мы можем выразить одну переменную через другую:

\(x = 6 - y\)

Подставим это значение во второе уравнение:

\((6 - y)^2 + y^2 = 289\)

Раскроем скобки и упростим:

\(36 - 12y + y^2 + y^2 = 289\)

\(2y^2 - 12y + 36 = 289\)

\(2y^2 - 12y - 253 = 0\)

Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью квадратного корня или факторизации. Воспользуемся квадратным корнем:

\(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

В нашем случае \(a = 2\), \(b = -12\), \(c = -253\), подставим значения в формулу:

\(y = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot -253}}{2 \cdot 2}\)

\(y = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 2024}}{4}\)

\(y = \frac{12 \pm \sqrt{2168}}{4}\)

\(y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 271}}{4}\)

\(y = \frac{12 \pm 2\sqrt{271}}{4}\)

Продолжим вычисления, упростив этот результат:

\(y = \frac{6 \pm \sqrt{271}}{2}\)

Таким образом, мы нашли два возможных значения для \(y\). Теперь нам нужно найти соответствующие значения для \(x\), подставив найденные значения для \(y\) в первое уравнение:

Когда \(y = \frac{6 + \sqrt{271}}{2}\), \(x = 6 - \frac{6 + \sqrt{271}}{2} = \frac{12 - 6 - \sqrt{271}}{2} = \frac{6 - \sqrt{271}}{2}\)

Когда \(y = \frac{6 - \sqrt{271}}{2}\), \(x = 6 - \frac{6 - \sqrt{271}}{2} = \frac{12 - 6 + \sqrt{271}}{2} = \frac{6 + \sqrt{271}}{2}\)

Таким образом, у нас есть две пары значений для \(x\) и \(y\):

Первый вариант:
\(x = \frac{6 - \sqrt{271}}{2}\), \(y = \frac{6 + \sqrt{271}}{2}\)

Второй вариант:
\(x = \frac{6 + \sqrt{271}}{2}\), \(y = \frac{6 - \sqrt{271}}{2}\)

Проверим, чтобы убедиться, что эти значения являются корректными.

В первом случае:
\((\frac{6 - \sqrt{271}}{2})^2 + (\frac{6 + \sqrt{271}}{2})^2 = 17^2\)

\((\frac{36 - 12\sqrt{271} + 271}{4}) + (\frac{36 + 12\sqrt{271} + 271}{4}) = 289\)

\(\frac{307 + 12\sqrt{271}}{4} + \frac{307 - 12\sqrt{271}}{4} = 289\)

\(\frac{614}{4} = 289\)

Проверка успешна.

Во втором случае:
\((\frac{6 + \sqrt{271}}{2})^2 + (\frac{6 - \sqrt{271}}{2})^2 = 17^2\)

\((\frac{36 + 12\sqrt{271} + 271}{4}) + (\frac{36 - 12\sqrt{271} + 271}{4}) = 289\)

\(\frac{614}{4} = 289\)

Проверка снова успешна.

Таким образом, у нас есть две пары значений для катетов, которые удовлетворяют условию задачи. Гипотенузы могут быть найдены подстановкой найденных значений в формулу гипотенузы \(\sqrt{a^2 + b^2}\).