15б Каков объем тела, полученного путем вращения прямоугольника со сторонами 3 см и 12 см вокруг прямой, расположенной

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать формулу для объема тела, полученного путем вращения фигуры вокруг оси. Формула выглядит следующим образом:

\[ V = \pi \cdot \int_a^b f(x)^2 \ dx \]

где \( V \) - объем, \( \pi \) - математическая константа, \( a \) и \( b \) - границы интегрирования, а \( f(x) \) - функция, в данном случае это ширина прямоугольника.

Для начала определим границы интегрирования. Мы знаем, что прямоугольник вращается вокруг прямой, расположенной на расстоянии 3 см от большей стороны, поэтому одна граница будет соответствовать этому расстоянию, а вторая граница будет равна большей стороне прямоугольника:

\[ a = 3 \ \text{см} \]
\[ b = 12 \ \text{см} \]

Теперь нам нужно определить функцию \( f(x) \). В нашем случае, поскольку прямоугольник имеет постоянную ширину, функция будет просто константой, равной этой ширине. Таким образом, \( f(x) = 3 \ \text{см} \).

Подставим значения в формулу:

\[ V = \pi \cdot \int_3^{12} 3^2 \ dx \]

Проинтегрируем:

\[ V = \pi \cdot \left[3^2 \cdot x\right]_3^{12} \]
\[ V = \pi \cdot (3^2 \cdot 12 - 3^2 \cdot 3) \]
\[ V = \pi \cdot (9 \cdot 12 - 9 \cdot 3) \]
\[ V = \pi \cdot (108 - 27) \]
\[ V = \pi \cdot 81 \]

Итак, объем тела, полученного путем вращения прямоугольника со сторонами 3 см и 12 см вокруг прямой, расположенной на расстоянии 3 см от большей стороны, равен \( 81\pi \) (кубические сантиметры).