Знайдіть радіуси двох кіл, які дотикаються і мають відстань між їх центрами 16 см, враховуючи всі можливі випадки, якщо

Для решения данной задачи, мы можем использовать факт о том, что касательная к окружности проведенная в точке касания, является перпендикулярной к радиусу, проведенному в данную точку.

Пусть \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы двух касающихся окружностей, а \(d\) - расстояние между их центрами.

В первом случае, когда окружности касаются внешним образом, длина отрезка, соединяющего центры окружностей равна сумме их радиусов:

\[d = r_1 + r_2\]

\[16 = r_1 + r_2\]

Во втором случае, когда окружности касаются внутренним образом, длина отрезка, соединяющего центры окружностей равна разности их радиусов:

\[d = |r_1 - r_2|\]

\[16 = |r_1 - r_2|\]

Таким образом, у нас есть две системы уравнений:

\[
\begin{cases}
r_1 + r_2 = 16 \\
|r_1 - r_2| = 16
\end{cases}
\]

Для решения первой системы уравнений, мы можем сложить оба уравнения:

\[2r_1 = 32\]

\[r_1 = 16\]

Тогда, подставляя этот результат обратно в одно из уравнений, получаем:

\[16 + r_2 = 16\]

\[r_2 = 0\]

Таким образом, в первом случае, одна окружность имеет радиус 16 см, а вторая окружность имеет радиус 0 см, что на самом деле означает, что они не касаются в данном случае.

Вторая система уравнений имеет два решения:

\[r_1 - r_2 = 16\]

\[r_1 = r_2 + 16\]

Подставляя это во второе уравнение, получаем:

\[(r_2 + 16) - r_2 = 16\]

\[16 = 16\]

В данном случае, у нас есть одно решение, при котором радиусы обеих окружностей равны 16 см.

Итак, мы рассмотрели все возможные варианты. В первом случае, когда окружности касаются внешним образом, радиус одной окружности равен 16 см, а вторая окружность имеет радиус 0 см. Во втором случае, когда окружности касаются внутренним образом, радиусы обеих окружностей равны 16 см.