148) Найдите угол альфа в ДАВС-правильной треугольной пирамиде, где ДО перпендикулярно (АВС) и S(DMC):S(ABC)=1:2

148) Для решения задачи, нам необходимо использовать соотношение площадей боковых поверхностей треугольной пирамиды.

Мы знаем, что отношение площадей \(S(DMC)\) и \(S(ABC)\) равно 1:2. Поэтому площадь боковой поверхности треугольника DMC составляет половину площади треугольника ABC.

Для начала, давайте найдем площадь треугольника ABC.

Предположим, что сторона ВС равняется \(x\) единицам длины. Так как треугольник ABC - правильный, все его стороны также равны \(x\).

Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу для площади равностороннего треугольника:

\[S(ABC) = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2\]

Так как площадь треугольника DMC составляет половину площади треугольника ABC, мы можем записать следующее:

\[S(DMC) = \frac{1}{2}S(ABC)\]

\[S(DMC) = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4}x^2\]

\[S(DMC) = \frac{\sqrt{3}}{8} x^2\]

Теперь мы можем найти сторону DC. Поскольку треугольники DMC и DСА подобны, отношение длин сторон равно отношению площадей:

\(\frac{DM}{DC} = \frac{S(DMC)}{S(DCA)}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{DM}{DC} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{8} x^2}{\frac{\sqrt{3}}{4} x^2}\)

Сокращаем соответствующие части:

\(\frac{DM}{DC} = \frac{1}{2}\)

Это говорит нам, что отношение длин сторон DM и DC равно 1:2. То есть, если сторона DC равна \(y\) единицам длины, то сторона DM будет равна \(2y\) единицам длины.

Теперь у нас есть стороны треугольника DMC и прямоугольного треугольника DME, где Е - середина стороны DC.

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник DME. Мы знаем, что ВЕ = ЕА, ВР = РС, АМ = МД и ДК = КС.

Так как ВЕ = ЕА, и ВА = АС = СВ (так как треугольник ABC - равносторонний), мы можем заключить, что треугольник ВЕА также равносторонний.

Таким образом, угол ВЕА равен 60 градусам. А поскольку ВЕМ - прямой угол, то угол ВЕМ равен 90 градусам.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DMC.

У нас есть две стороны: MD = 2y и CD = y.

Для того чтобы найти угол DMC, мы можем использовать тангенс угла:

\(\tan(\angle DMC) = \frac{MD}{CD} = \frac{2y}{y} = 2\)

Теперь найдем угол альфа. Угол альфа является углом между сторонами ВЕ и DC в треугольнике DMC.

У нас есть два угла: угол ВЕМ равен 90 градусов, а угол DMC равен \(\arctan(2)\). Чтобы найти угол альфа, мы можем использовать разность углов в треугольнике:

\(\alpha = 90 - \arctan(2)\)

Вычислив эту разность, мы получим искомый ответ на задачу.