1. Найти расстояние от точки касания окружности, вписанной в треугольник с сторонами 5, 6 и 7, до противоположной

Задача 1:
Дано: Треугольник со сторонами 5, 6 и 7, вписанная в него окружность.

Чтобы найти расстояние от точки касания окружности до противоположной вершины треугольника через среднюю сторону, мы можем воспользоваться свойством вписанной окружности.

Свойство вписанной окружности гласит, что в точке касания окружности со стороной треугольника, проведенной из вершины, угол между этой стороной и средней стороной треугольника будет прямым.

Таким образом, нам нужно найти длину средней стороны треугольника. Для этого мы можем воспользоваться формулой полупериметра треугольника.

Полупериметр треугольника равен сумме длин всех его сторон, деленной на 2:
\[P = \frac{a + b + c}{2}\]

Где P - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника.

Подставим значения для нашего треугольника:
\[P = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9\]

Затем мы можем воспользоваться формулой для вычисления радиуса вписанной окружности треугольника:
\[r = \frac{S}{P}\]

Где r - радиус окружности, S - площадь треугольника, P - полупериметр треугольника.

Для вычисления площади треугольника по формуле Герона:
\[S = \sqrt{P(P - a)(P - b)(P - c)}\]

Где S - площадь треугольника, P - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника.

Подставим значения для нашего треугольника:
\[S = \sqrt{9 \cdot (9 - 5) \cdot (9 - 6) \cdot (9 - 7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}\]

Теперь, зная радиус окружности и длину средней стороны треугольника, мы можем найти расстояние от точки касания окружности до противоположной вершины через среднюю сторону треугольника, используя теорему Пифагора:
\[d = \sqrt{r^2 - (\frac{c}{2})^2}\]

Где d - расстояние от точки касания окружности до противоположной вершины через среднюю сторону треугольника, r - радиус окружности, c - длина средней стороны треугольника.

Подставим значения для нашего треугольника:
\[d = \sqrt{(\frac{6\sqrt{6}}{9})^2 - (\frac{7}{2})^2}\]
\[d = \sqrt{\frac{36 \cdot 6 - 49}{81}}\]
\[d = \sqrt{\frac{216 - 49}{81}}\]
\[d = \sqrt{\frac{167}{81}}\]

Итак, расстояние от точки касания окружности до противоположной вершины через среднюю сторону треугольника равно \(\sqrt{\frac{167}{81}}\).

Задача 2:
Дано: Прямоугольник со сторонами a и b, точка, которая равноудалена от одной из вершин и середины меньшей стороны прямоугольника.

Чтобы определить, как точка делит диагональ прямоугольника, нам нужно рассмотреть прямоугольник более подробно.

Пусть A и B - вершины прямоугольника, C - точка, равноудаленная от вершины A и середины меньшей стороны прямоугольника, D - точка на диагонали прямоугольника.

Мы можем использовать теорему о средней линии прямоугольника, которая гласит, что средняя линия прямоугольника параллельна и равна половине диагонали.

Таким образом, мы можем сказать, что отрезок AC параллелен и равен отрезку DB. А также отрезок BC параллелен и равен отрезку DA.

Теперь мы можем использовать подобие треугольников. Треугольник АCD подобен треугольнику BDC, так как у них соответствующие углы равны.

Мы знаем, что отношения длин сторон в подобных треугольниках равны. Таким образом, мы можем записать отношение между сторонами треугольников:
\[\frac{AC}{CD} = \frac{BD}{DC}\]

Мы также знаем, что AC равно BD, так как точка C равноудалена от вершины A и середины меньшей стороны прямоугольника.

Подставляем известные значения:
\[\frac{AC}{CD} = \frac{BD}{DC}\]
\[\frac{AC}{CD} = \frac{AC}{DC}\]

Отсюда следует, что отрезок AC равен отрезку CD. Таким образом, точка C делит диагональ прямоугольника пополам.

Итак, точка, равноудаленная от одной вершины и середины меньшей стороны прямоугольника, делит его диагональ пополам.