12. При каком значении коэффициента трения между клином и плоскостью клин будет находиться в состоянии покоя, если

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать условие равновесия. Когда клин находится в состоянии покоя, сумма сил, действующих на него, равна 0.

Первым шагом определим какие силы действуют на клин. Масса клина обозначена как M, ускорение свободного падения обозначим как g. Также дано, что на наклонной боковой грани клина без трения скользит брусок массой m.

На клин действуют следующие силы:

1. Сила тяжести \( F_{т} = Mg \), направленная вертикально вниз.

2. Сила нормальной реакции \( N \), с которой плоскость поддерживает клин, направлена перпендикулярно плоскости клина и направлена вверх.

3. Сила трения \( F_{тр} \), действующая параллельно плоскости клина.

Сила трения определяется формулой \( F_{тр} = fN \), где f - коэффициент трения.

Так как клин находится в состоянии покоя, сумма сил равна 0. Можно записать уравнения равновесия:

\[ \sum F_{x} = 0 \Rightarrow fN - Mg\sin a = 0 \] (1)

\[ \sum F_{y} = 0 \Rightarrow N - Mg\cos a = 0 \] (2)

Решая эти два уравнения, мы сможем найти коэффициент трения между клином и плоскостью.

Используя уравнение (2), найдем выражение для силы N:

\[ N = Mg\cos a \]

Подставим это значение в уравнение (1) и найдем \( fN \):

\[ fN = f(Mg\cos a) \]

Теперь, подставим это значение в уравнение (1) и решим уравнение относительно f:

\[ f(Mg\cos a) - Mg\sin a = 0 \]

Разделим оба части уравнения на Mg:

\[ f\cos a - \sin a = 0 \]

\[ f\cos a = \sin a \]

\[ f = \frac{\sin a}{\cos a} \]

\[ f = \tan a \]

Таким образом, при значении коэффициента трения \( f = \tan a \), клин будет находиться в состоянии покоя.

Я надеюсь, что данное объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.