2.3. Каков модуль ускорения материальной точки, если она движется со скоростью v=(i-2j+3k)*t? Напишите формулу

2.3. Дано уравнение скорости материальной точки: \(v = (i - 2j + 3k) \cdot t\). Чтобы найти модуль ускорения, нам нужно найти производную скорости по времени. Вот формула зависимости вектора ускорения от времени:

\[
a = \frac{dv}{dt}
\]

Так как у нас задано уравнение скорости, найдем производную этого уравнения по времени. К счастью, вектор \(v\) не зависит от времени, за исключением множителя \(t\), поэтому его производная даст нам сам вектор \(v\). Таким образом, вектор ускорения будет равен \(a = (i - 2j + 3k)\). Чтобы найти модуль ускорения, абсолютное значение этого вектора, мы можем использовать формулу:

\[
|a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}
\]

Где \(a_x, a_y, a_z\) - координаты вектора ускорения. В данном случае, координаты вектора ускорения равны 1, -2 и 3 соответственно, поэтому:

\[
|a| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2}
\]

Сократив выражение, получаем:

\[
|a| = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}
\]

Ответ: Модуль ускорения материальной точки равен \(\sqrt{14}\).

2.6.

a) Дано уравнение скорости частицы: \(v = at(2i + 3j + 4k)\), где \(a = 2,0 \, \text{м/с}^2\) и необходимо найти модуль скорости в момент времени \(t = 3 \, \text{с}\). Чтобы найти модуль скорости, мы просто берем длину вектора скорости:

\[
|v| = \sqrt{(vt_x)^2 + (vt_y)^2 + (vt_z)^2}
\]

Где \(vt_x, vt_y, vt_z\) - компоненты вектора скорости. Подставляя значения в это уравнение, получаем:

\[
|v| = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 2)^2 + (2 \cdot 3 \cdot 3)^2 + (2 \cdot 3 \cdot 4)^2} = \sqrt{144 + 324 + 576} = \sqrt{1044}
\]

Ответ: Модуль скорости частицы в момент времени \(t = 3 \, \text{с}\) равен \(\sqrt{1044}\).

б) Чтобы найти вектор ускорения, мы берем производную вектора скорости \(v\) по времени:

\[
a = \frac{dv}{dt}
\]

Подставляя значение вектора скорости \(v = at(2i + 3j + 4k)\), получаем:

\[
a = \frac{d(at(2i + 3j + 4k))}{dt} = a(2i + 3j + 4k)
\]

Таким образом, вектор ускорения будет равен \(a(2i + 3j + 4k)\).

Чтобы найти модуль вектора ускорения, мы просто берем длину этого вектора:

\[
|a| = \sqrt{(at_x)^2 + (at_y)^2 + (at_z)^2}
\]

Подставляя значения \(at_x = 2 \cdot 2\), \(at_y = 2 \cdot 3\) и \(at_z = 2 \cdot 4\) в это уравнение, получаем:

\[
|a| = \sqrt{(2 \cdot 2)^2 + (2 \cdot 3)^2 + (2 \cdot 4)^2} = \sqrt{16 + 36 + 64} = \sqrt{116}
\]

Ответ: Модуль вектора ускорения частицы равен \(\sqrt{116}\).

в) Чтобы найти путь, пройденный частицей с момента времени \(t_1 = 3,00 \, \text{с}\) до момента времени \(t_2 = 5,00 \, \text{с}\), мы должны проинтегрировать вектор скорости \(v\) от момента времени \(t_1\) до момента времени \(t_2\):

\[
S = \int_{t_1}^{t_2} v \, dt
\]

Подставляя значение вектора скорости \(v = at(2i + 3j + 4k)\) и значения \(t_1 = 3,00 \, \text{с}\) и \(t_2 = 5,00 \, \text{с}\), получаем:

\[
S = \int_{3}^{5} (2t(2i + 3j + 4k)) \, dt
\]

Вычисляя это определенный интеграл, получаем:

\[
S = \left[ t^2(2i + 3j + 4k) \right]_3^5 = (5^2 - 3^2)(2i + 3j + 4k) = (25 - 9)(2i + 3j + 4k) = 16(2i + 3j + 4k)
\]

Ответ: Путь, пройденный частицей с момента времени \(t = 3,00 \, \text{с}\) до момента времени \(t = 5,00 \, \text{с}\), равен \(16(2i + 3j + 4k)\).

2.9. Дано, что проекции скорости точки на оси прямоугольной системы координат равны \(V_x = 6\pi\cos(2\pi t)\) и \(V_y = 6\pi\sin(2\pi t)\). Чтобы найти величину тангенциального ускорения, нам понадобится найти производные проекций скорости по времени:

\[
a_{\text{танг}} = \frac{d V_{\text{танг}}}{dt}
\]

Проекция скорости на плоскость \(V_{\text{танг}}\) является векторной суммой проекций скорости по осям x и y:

\[
V_{\text{танг}} = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}
\]

Теперь найдем производную \(V_{\text{танг}}\) по времени:

\[
a_{\text{танг}} = \frac{d}{dt} \sqrt{V_x^2 + V_y^2}
\]

Используя правило дифференцирования композиции функций (цепное правило), получаем:

\[
a_{\text{танг}} = \frac{V_x \cdot \frac{d V_x}{dt} + V_y \cdot \frac{d V_y}{dt}}{\sqrt{V_x^2 + V_y^2}}
\]

Для данной задачи, \(V_x = 6\pi\cos(2\pi t)\) и \(V_y = 6\pi\sin(2\pi t)\), поэтому:

\[
\frac{d V_x}{dt} = \frac{d}{dt} (6\pi\cos(2\pi t)) = -12\pi^2\sin(2\pi t)
\]

\[
\frac{d V_y}{dt} = \frac{d}{dt} (6\pi\sin(2\pi t)) = 12\pi^2\cos(2\pi t)
\]

Подставляя значения в формулу для \(a_{\text{танг}}\), получаем:

\[
a_{\text{танг}} = \frac{(6\pi\cos(2\pi t)) \cdot (-12\pi^2\sin(2\pi t)) + (6\pi\sin(2\pi t)) \cdot (12\pi^2\cos(2\pi t))}{\sqrt{(6\pi\cos(2\pi t))^2 + (6\pi\sin(2\pi t))^2}}
\]

Ответ: Величина тангенциального ускорения точки, движущейся в плоскости с указанными проекциями скорости, равна выражению, которое было проведено выше.