Найти работу электрических сил при перемещении точечного заряда q = 10 мккл из центра кольца радиусом r = 25

Хорошо, для решения этой задачи воспользуемся принципом суперпозиции электрических сил. Мы разобьем путь в несколько участков, на каждом из которых заряд q будет создавать дифференциальный элементарный элементарный заряд dQ массы dm. Затем мы проинтегрируем эти участки для нахождения итоговой работы.

Давайте начнем с расчета работы, создаваемой дифференциальным элементарным зарядом dQ на точечный заряд q". Работа dW будет представлять собой произведение силы, создаваемой зарядом q, и элементарного перемещения ds. Заряд dQ можно найти, используя выражение для линейной плотности заряда:

\[dQ = \frac{{q \cdot dm}}{{2\pi r}}\]

где dm - дифференциальный элемент массы, а r - расстояние между зарядами q и dQ.

Так как заряд q равномерно распределен по кольцу, мы можем выразить дифференциальный элемент массы в терминах угла dφ:

\[dm = \frac{{q \cdot dφ}}{{2\pi}}\]

где dφ - дифференциальный элемент угла.

Дифференциальное перемещение ds находится на оси кольца и равно dl. Теперь мы можем записать выражение для дифференциальной работы dW:

\[dW = \frac{{k \cdot q \cdot q" \cdot dl}}{{2\pi r}}\]

где k - постоянная электростатического притяжения.

Для нахождения итоговой работы, создаваемой всеми дифференциальными элементами dW, мы должны проинтегрировать это выражение по всему пути. Поскольку путь является произвольным, нам необходимо выразить dl через элемент угла dφ. Это можно сделать с помощью геометрических соображений. Расположим элемент dl на оси кольца и соединим его с центром кольца. Мы получим прямоугольный треугольник с гипотенузой r и катетами dl и l + r. С помощью тригонометрических соотношений мы можем выразить dl через dφ:

\[dl = (l + r) \cdot dφ\]

Теперь мы можем проинтегрировать полученное выражение для dW. Границы интегрирования будут изменяться от угла 0 до угла 2π, так как мы полностью охватываем кольцо. Таким образом, мы получим следующее выражение для итоговой работы W:

\[W = \int_0^{2\pi} \left( \frac{{k \cdot q \cdot q"}}{{2\pi r}} \right) \cdot (l + r) \cdot dφ\]

Теперь мы можем вычислить этот интеграл. Подставляя значения q = 5 мккл (5 × 10^{-6} Кл), q" = 10 мккл (10 × 10^{-6} Кл), r = 25 см (0.25 м) и l = 50 см (0.5 м) получаем:

\[W = \int_0^{2\pi} \left( \frac{{9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10^{-6} \cdot 10 \cdot 10^{-6}}}{{2\pi \cdot 0.25}} \right) \cdot (0.5 + 0.25) \cdot dφ\]

\[W = \int_0^{2\pi} \left( \frac{{9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10^{-6} \cdot 10 \cdot 10^{-6}}}{{0.5}} \right) \cdot dφ\]

\[W = \int_0^{2\pi} 9 \cdot 10^9 \cdot 10 \cdot dφ\]

Мы знаем, что интеграл от dφ равен самому φ:

\[W = 9 \cdot 10^9 \cdot 10 \int_0^{2\pi} dφ\]

\[W = 9 \cdot 10^9 \cdot 10 \cdot (2\pi - 0)\]

\[W = 180 \cdot 10^9\pi\]

Таким образом, работа электрических сил при перемещении точечного заряда q" = 10 мккл из центра кольца радиусом r = 25 см с неравномерно распределенным зарядом q = 5 мккл по произвольному пути к точке, которая находится на оси кольца на расстоянии l = 50 см от его центра, равна \(W = 180 \cdot 10^9\pi\) дж.