106. Катер 1 час 45 минут преодолевает расстояние в 15 км вверх по течению и 18 км против течения. Если катер

Конечно! Давайте решим поставленные задачи по-очереди.

106. Итак, у нас есть катер, который преодолевает расстояние вверх по течению и против течения. Заходим так: пусть скорость катера относительно воды будет \(v\) км/ч, а скорость течения реки - \(c\) км/ч. Тогда катер будет двигаться со скоростью \(v+c\) км/ч вверх по течению и со скоростью \(v-c\) км/ч против течения.

Известно, что катер преодолевает расстояние в 5 км вверх по течению за 15 минут. Переведем это в часы: 15 минут составляют \(\frac{15}{60} = \frac{1}{4}\) часа. Значит, катер преодолевает расстояние в 5 км со скоростью \(v+c\) км/ч за \(\frac{1}{4}\) часа. Мы можем записать это в виде уравнения:

\[5 = \frac{1}{4}(v+c)\]

Теперь, учитывая, что катер преодолевает расстояние в 15 км вверх по течению и 18 км против течения за 1 час 45 минут, или \(\frac{7}{4}\) часа, мы можем записать второе уравнение:

\[15 = \frac{7}{4}(v+c)\]
\[18 = \frac{7}{4}(v-c)\]

У нас теперь есть система из трех уравнений с тремя неизвестными. Давайте решим ее.

Сначала возьмем первые два уравнения и избавимся от дробей, умножив оба уравнения на 4:

\[20 = v+c\]
\[60 = 7(v+c)\]

Раскроем скобки во втором уравнении:

\[60 = 7v + 7c\]

Теперь вычтем из него первое уравнение:

\[60 - 20 = 7v + 7c - (v+c)\]

\[40 = 6v + 6c\]

Поделим это уравнение на 6, чтобы получить значение \(v+c\):

\[v+c = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}\]

Теперь у нас есть значение \(v+c\). Мы можем подставить его в первое уравнение и решить для \(v\):

\[20 = v+c\]
\[20 = v + \frac{20}{3}\]
\[v = 20 - \frac{20}{3}\]
\[v = \frac{40}{3} - \frac{20}{3}\]
\[v = \frac{20}{3}\]

Таким образом, скорость катера относительно воды составляет \(\frac{20}{3}\) км/ч.

Чтобы найти скорость течения реки (\(c\)), мы можем подставить значение \(v\) в одно из начальных уравнений. Возьмем первое:

\[20 = v+c\]
\[20 = \frac{20}{3} + c\]

Избавимся от дроби, умножив оба выражения на 3:

\[60 = 20 + 3c\]
\[3c = 60 - 20\]
\[3c = 40\]
\[c = \frac{40}{3}\]

Таким образом, скорость течения реки составляет \(\frac{40}{3}\) км/ч.

107. В этой задаче мы имеем отца и сына, которые выполняют определенную работу за 1,2 часа. Если сын выполняет половину работы самостоятельно, а отец завершает остаток, им потребуется 2,5 часа.

Пусть работа составляет 1 единицу. Тогда сын выполняет половину работы, то есть \(\frac{1}{2}\) единицы работы, за время \(t\) часов, и отец завершает оставшуюся половину работы, то есть \(\frac{1}{2}\) единицы работы, за время \(2,5-t\) часов.

Мы знаем, что сумма времени, потраченного сыном и отцом на работу, равна 1,2 часа:

\[t + (2,5-t) = 1,2\]

Раскроем скобки:

\[t + 2,5 - t = 1,2\]

Теперь упростим:

\[2,5 = 1,2\]

Ой, мы столкнулись с проблемой! Слева у нас получается 2,5, а справа - 1,2. Это значит, что наше уравнение не имеет решений, и мы не можем найти точные значения времени, затраченного сыном и отцом, чтобы выполнить работу каждому отдельно.

108. а) Дано двузначное число, сумма квадратов цифр которого равна 52. Мы должны проверить, существует ли такое число.

Пусть число состоит из цифр \(a\) и \(b\), где \(a\) - это десятки, а \(b\) - это единицы. Тогда его сумма квадратов будет равна \(a^2 + b^2\).

Нам нужно найти такие цифры \(a\) и \(b\), чтобы их сумма квадратов равнялась 52.

Переберем все возможные значения для \(a\) и \(b\) и проверим, есть ли сумма их квадратов, равная 52:

\[
\begin{align*}
&1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50 \\
&2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \\
&3^2 + 9^2 = 9 + 81 = 90 \\
&4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \\
&5^2 + 2^2 = 25 + 4 = 29 \\
&6^2 + 1^2 = 36 + 1 = 37 \\
&7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98 \\
&8^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68 \\
&9^2 + 3^2 = 81 + 9 = 90 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, мы видим, что нет двузначного числа, сумма квадратов цифр которого равна 52.

б) Давайте рассмотрим следующую часть этой задачи. К сожалению, вы не указали условие для б-течения. Если вы можете предоставить это, я смогу решить вторую часть для вас.