Где нужно провести касательную к графику функции y=1 x-1, чтобы она прошла через заданную точку?

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции \(y = \frac{1}{x} - 1\), проходящей через заданную точку, мы можем воспользоваться несколькими шагами.

1. Сначала найдем производную функции \(y = \frac{1}{x} - 1\). Производная функции показывает нам склонность функции в каждой точке.

Для нашей функции применим правило дифференцирования дробной функции:
\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}
\]

Поскольку постоянный член -1 является константой, производная этого члена равна нулю. Поэтому производная функции \(y = \frac{1}{x} - 1\) будет равна:
\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}
\]

2. Теперь у нас есть производная функции. Для определения уравнения касательной к графику функции \(y = \frac{1}{x} - 1\) в данной точке найдем значение производной в этой точке. Для этого подставим координаты заданной точки в формулу производной и найдем \(y"\) в этой точке.

Предположим, что заданная точка имеет координаты \((a, b)\). Тогда у нас есть:
\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}
\]
\[
b" = -\frac{1}{a^2}
\]

3. Теперь, когда у нас есть значение производной в заданной точке, мы можем использовать формулу касательной:

\[
y - b = y"(a)(x - a)
\]

Где \(y\) и \(x\) - координаты произвольной точки на касательной, а \(a\) и \(b\) - координаты заданной точки.

Подставим наше значение производной и координаты заданной точки в эту формулу и решим ее, чтобы найти уравнение касательной.

4. Вернемся к точке с координатами \((a, b)\), где \(a\) и \(b\) - координаты заданной точки. Подставим эти значения в формулу касательной и заменим \(y\) и \(x\) на переменные:
\[
y - b = (-\frac{1}{a^2})(x - a)
\]

Теперь это уравнение касательной к графику функции \(y = \frac{1}{x} - 1\) в заданной точке.

5. Для упрощения этого уравнения и устранения дробей можно умножить обе части на \(a^2\):
\[
a^2(y - b) = -(x - a)
\]

Таким образом, окончательное уравнение касательной к графику функции \(y = \frac{1}{x} - 1\) в заданной точке \((a, b)\) будет:
\[
a^2y - a^2b = -x + a
\]

Или, если выражить это в форме \(y = mx + c\):
\[
y = -\frac{x}{a^2} + \left(\frac{1}{a^2} - b\right)
\]

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как найти уравнение касательной к графику функции \(y = \frac{1}{x} - 1\), проходящей через заданную точку.