1. Является ли середина отрезка mn в плоскости abc, если точки m и n являются серединами сторон треугольника abc?

1. Да, середина отрезка mn будет лежать в плоскости abc, если точки m и n являются серединами сторон треугольника abc.

Обоснование:
Поскольку точка m является серединой стороны ab, то отрезок am будет равен отрезку mb. Аналогично, поскольку точка n является серединой стороны ac, то отрезок an будет равен отрезку nc.

Посмотрим на рисунок:

b
/ \
/ \
/ \
a-------c

Из данного рисунка видно, что отрезок mn соединяет точки m и n, которые являются серединами сторон ab и ac соответственно. Заметим, что точки a, b и c лежат в одной плоскости (плоскости abc), так как они являются вершинами треугольника abc.

Теперь вспомним, что середина отрезка - это точка, расположенная на равном расстоянии от концов данного отрезка. Из этого следует, что отрезки am и mb равны между собой и отрезки an и nc также равны между собой.

Таким образом, наш отрезок mn, соединяющий середины сторон ab и ac, будет равномерно распределен в плоскости abc и лежит в ней.

2. Если две плоскости имеют общую прямую a, то точка a будет принадлежать обеим плоскостям.

Обоснование:
Представим, что у нас есть две плоскости, назовем их плоскость A и плоскость B, и обе они проходят через общую прямую a. Для удобства, представим это наши плоскости вдоль и поперек:

^
|
/
/
a------> x

Из рисунка видно, что общая прямая a находится в обоих плоскостях. Это означает, что любая точка прямой a будет находиться в каждой плоскости. Другими словами, если выберем какую-либо точку на прямой a, то она будет принадлежать обеим плоскостям A и B.

Таким образом, точка a будет принадлежать обеим плоскостям, если они имеют общую прямую a.