Какова сумма векторов AB и AD в ромбе ABCD, если угол BАД равен 120 градусам, а периметр ромба составляет

Для начала рассмотрим ромб ABCD и обозначим векторы AB и AD как \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) соответственно.

Из условия задачи нам известно, что угол BAD равен 120 градусам. Ромб ABCD является ромбом, значит, угол BAD равен углу BCD, так как они являются смежными углами. Также из свойств ромба угол BAD можно обозначить как \(180 - \angle BCD\).

Таким образом, у нас имеется следующее уравнение:
\[180 - \angle BCD = 120\]

Решим это уравнение:
\[\angle BCD = 180 - 120 = 60\]

Теперь рассмотрим периметр ромба ABCD. Периметр ромба можно найти, сложив длины всех его сторон. У того же свойства ромба все его стороны равны между собой.

Обозначим длину стороны ромба как \(a\). Тогда периметр ромба равен:
\[4a = 48\]

Решим это уравнение:
\[a = \frac{48}{4} = 12\]

Теперь у нас есть длина стороны ромба (\(a\)) и значение угла BCD (\(60^\circ\)).

Для нахождения суммы векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) нам понадобится знать длину этих векторов. Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) являются диагоналями ромба, и из свойств ромба они равны между собой.

Таким образом, длина вектора \(\vec{AB}\) равна диагонали ромба, а длина вектора \(\vec{AD}\) также равна диагонали ромба.

Чтобы найти длину диагонали ромба, можно воспользоваться теоремой косинусов. В прямоугольном треугольнике BAC (где A – вершина ромба, а B и C – середины сторон ромба) можно найти длину диагонали ромба по формуле:

\[d = \sqrt{a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\angle BCD)}\]

Подставим значения в формулу:
\[d = \sqrt{12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos(60^\circ)}\]

Упростим выражение:
\[d = \sqrt{144 + 144 - 288 \cdot \frac{1}{2}}\]
\[d = \sqrt{288 - 144}\]
\[d = \sqrt{144}\]
\[d = 12\]

Таким образом, длина диагонали ромба и длина векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) равны 12 см.

Наконец, чтобы найти сумму векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\), нужно применить правило параллелограмма. Если два вектора имеют одинаковую точку начала и их концы связаны друг с другом как диагонали параллелограмма, то их сумма равна диагонали параллелограмма, проходящей через общую точку начала векторов.

Таким образом, сумма векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) равна диагонали ромба, то есть 12 см.

Итак, сумма векторов AB и AD в ромбе ABCD равна 12 см.