Каково отношение площади исходного четырёхугольника к площади серого четырёхугольника, если точки, делящие его стороны

Для решения данной задачи, давайте разобьем исходный четырёхугольник на более мелкие треугольники, используя отмеченные точки на его сторонах, и затем посчитаем площадь каждого треугольника.

Предположим, что исходный четырёхугольник ABCD имеет стороны AB, BC, CD и DA. Точки, которые делят его стороны на три равные части, будем обозначать как P, Q, R, S на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно.

Для начала, построим треугольники с вершинами в точках A, B и P. Обозначим их как треугольник ABE, BFP и PCD. Также построим треугольники с вершинами в точках B, C и Q, обозначим их как треугольники BCQ, CGR и QDA. Треугольники с вершинами в точках C, D и R будем обозначать как CDH, DIR и RAB. Наконец, построим треугольники с вершинами в точках D, A и S, обозначим их как треугольники DAS, ASE и SBP.

Итак, у нас получилось разбить исходный четырёхугольник на 12 треугольников, каждый из которых имеет равную площадь. Последние 8 треугольников (ASE, SBP, PCD, DIR, CDR, CDH, QDA, QBC) образуют серый четырёхугольник.

Теперь мы можем заметить, что площадь серого четырёхугольника равна сумме площадей трех треугольников (PCD, CDR, CDH), так как они полностью содержатся в сером четырёхугольнике.

Следовательно, отношение площади исходного четырёхугольника к площади серого четырёхугольника равно отношению площади всех 12 треугольников к площади трех треугольников (PCD, CDR, CDH).

Так как каждый из этих трех треугольников имеет равную площадь, то отношение площади исходного четырёхугольника к площади серого четырёхугольника равно 12:3, или в упрощенной форме, 4:1.

Итак, площадь серого четырёхугольника составляет четверть площади исходного четырёхугольника.

Надеюсь, что это объяснение было вам понятно! Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.