1. Яку довжину має більша похила, якщо менша похила має проекції 4√3 см і 9 см, а утворює з площиною кут 60°?

1. Перед нами похилі прямокутники, і ми хочемо знайти довжину більшої похилої. Маємо дві проекції меншої похилої, які складають 4√3 см і 9 см, і кут між ними і площиною складає 60°.

Нам відомо, що висота прямокутного трикутника утворює прямий кут з основою, тому відріжемо від основи відрізки довжиною 4√3 см та 9 см.

Далі маємо два трикутники. За теоремою Піфагора в кожному трикутнику можемо знайти довжину гіпотенузи за довжиною катетів.

Трикутник з проекцією 4√3 см:
\[a = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 9^2} = \sqrt{48 + 81} = \sqrt{129}\]

Трикутник з проекцією 9 см:
\[b = \sqrt{4\sqrt{3}^2 + 9^2} = \sqrt{16\cdot3 + 81} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\]

Тепер ми маємо довжини гіпотенузи кожного з трикутників - \(\sqrt{129}\) і 15 см. Нам залишилося знайти, яка з них більша. Тому, використовуючи правило Піфагора, порівняємо квадрати цих чисел:
\[\sqrt{129}^2 \stackrel{?}{>} 15^2 \Rightarrow 129 \stackrel{?}{>} 225\]

Отже, \(\sqrt{129}\) набагато менше за 15. Тому довжина більшої похилої становить 15 см.

2. Маємо паралелограм з вершинами А(-1; -3; 0), В(-1; 1; 3) та С(3; 1; 4). Ми хочемо знайти довжину діагоналі паралелограма.

Для цього ми можемо скористатися векторним методом. Вектор між точками А та В можна знайти як різницю координат цих точок:
\(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-1 - (-1), 1 - (-3), 3 - 0) = (0, 4, 3)\)

Аналогічно, вектор між точками С та D можна знайти так:
\(\overrightarrow{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C, z_D - z_C) = (-1 - 3, -3 - 1, 0 - 4) = (-4, -4, -4)\)

Тепер ми знаємо два вектори сторін паралелограма. Щоб знайти діагональ, можемо скористатися формулою для векторного добутку двох векторів:
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = (0 + (-4), 4 + (-4), 3 + (-4)) = (-4, 0, -1)\)

Тепер, застосуємо теорему Піфагора, щоб знайти довжину діагоналі:
\[d = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 0 + 1} = \sqrt{17}\]

Отже, довжина діагоналі паралелограма АВСD становить \(\sqrt{17}\) одиниць.

3. Нам потрібно знайти відстань від точки М до сторін прямокутного трикутника. Точка М знаходиться на відстані 4 см від його площини, а гіпотенуза трикутника на 3 см довша за катети, які мають довжину.

За властивостями прямокутного трикутника, висота, опущена з прямого кута на гіпотенузу, ділить її на дві рівні частини.

Тому, якщо гіпотенуза на 3 см довша за катет, то катети мають довжину \(\frac{1}{2}(3) = 1.5\) см.

Далі, за теоремою Піфагора, можна знайти довжину гіпотенузи:
\[c = \sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{2(1.5^2)} = \sqrt{2 \cdot 2.25} = \sqrt{4.5} \approx 2.12\]

Тепер ми знаємо довжину гіпотенузи трикутника - приблизно 2.12 см. І ми знаємо, що точка М знаходиться на відстані 4 см від його площини.

Отже, щоб знайти відстань від точки М до сторін, ми можемо відняти від довжини гіпотенузи відстань, яку описує точка М.
\[d = \sqrt{c^2 - 4^2} = \sqrt{4.5 - 16} = \sqrt{-11.5}\]

Зауважимо, що отриманий результат є комплексним числом, оскільки неможливо обчислити корінь квадратний з від"ємного числа. Тому відстань від точки М до сторін прямокутного трикутника неможливо обчислити в даному випадку.