1. Якщо периметр бази рівносторонньої чотирикутної піраміди становить 4 см, а її апофема - 1 см, то яка площа бічної

1. Для решения этой задачи используем формулу для площади боковой поверхности пирамиды:

\[ S = \frac{1}{2} P \cdot a \]

где \( S \) - площадь боковой поверхности, \( P \) - периметр основания, \( a \) - апофема пирамиды.

В нашем случае, периметр базы равен 4 см, а апофема равна 1 см, поэтому можем подставить значения в формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2 \, \text{см}^2 \]

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды равна 2 квадратным сантиметрам.

2. Для нахождения двугранного угла при основании пирамиды, между двумя сторонами основания, воспользуемся следующей формулой:

\[ \cos \alpha = \frac{a}{2r} \]

где \( \alpha \) - искомый угол, \( a \) - длина стороны основания, а \( r \) - апофема пирамиды.

Подставляя значения, получаем:

\[ \cos \alpha = \frac{3}{2} \]

Находим угол \( \alpha \) следующим образом:

\[ \alpha = \arccos \left( \frac{3}{2} \right) \approx 39^\circ \]

Ответ: двугранный угол при основании пирамиды составляет около 39 градусов.

3. Чтобы найти площадь боковой поверхности ровносторонней треугольной пирамиды с плоским углом при вершине \( \alpha \) и боковым ребром \( l \), используется формула:

\[ S = \frac{3 \sqrt{3}}{4} l^2 \]

В нашем случае угол \( \alpha = 30^\circ \), а боковое ребро \( l = 10 \) см, поэтому подставим значения:

\[ S = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = \frac{300 \sqrt{3}}{4} = 75 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды составляет \( 75 \sqrt{3} \) квадратных сантиметров.

4. Для нахождения длины висоты пирамиды, основой которой является треугольник со сторонами \( a \), \( b \) и \( c \), и у которой все двугранные углы при сторонах базы равны \( \alpha \), используем формулу:

\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{a \cdot c}{b} \right) \]

У нас основание пирамиды состоит из сторон длиной 5 см, 5 см и 6 см, и все двугранные углы при сторонах базы равны 60 градусам. Подставляем значения в формулу:

\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{5 \cdot 6}{5} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3 \sqrt{3} \, \text{см} \]

Ответ: длина висоты пирамиды равна \( 3 \sqrt{3} \) сантиметра.

5. К сожалению, в задании №5 пропущено условие или вопрос. Пожалуйста, предоставьте дополнительную информацию или уточнение, чтобы я мог подробно ответить на ваш вопрос.