1. Якщо периметр бази рівносторонньої чотирикутної піраміди становить 4 см, а її апофема - 1 см, то яка площа бічної

1. Для решения этой задачи используем формулу для площади боковой поверхности пирамиды:

$$S=\frac{1}{2}P\cdot a$$

где $S$ - площадь боковой поверхности, $P$ - периметр основания, $a$ - апофема пирамиды.

В нашем случае, периметр базы равен 4 см, а апофема равна 1 см, поэтому можем подставить значения в формулу:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1=2{\text{см}}^2$$

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды равна 2 квадратным сантиметрам.

2. Для нахождения двугранного угла при основании пирамиды, между двумя сторонами основания, воспользуемся следующей формулой:

$$\cos \alpha =\frac{a}{2r}$$

где $\alpha$ - искомый угол, $a$ - длина стороны основания, а $r$ - апофема пирамиды.

Подставляя значения, получаем:

$$\cos \alpha =\frac{3}{2}$$

Находим угол $\alpha$ следующим образом:

$$\alpha =\arccos \left(\frac{3}{2}\right)\approx {39}^{\circ }$$

Ответ: двугранный угол при основании пирамиды составляет около 39 градусов.

3. Чтобы найти площадь боковой поверхности ровносторонней треугольной пирамиды с плоским углом при вершине $\alpha$ и боковым ребром $l$, используется формула:

$$S=\frac{3\sqrt{3}}{4}{l}^2$$

В нашем случае угол $\alpha ={30}^{\circ }$, а боковое ребро $l=10$ см, поэтому подставим значения:

$$S=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot {10}^2=\frac{300\sqrt{3}}{4}=75\sqrt{3}{\text{см}}^2$$

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды составляет $75\sqrt{3}$ квадратных сантиметров.

4. Для нахождения длины висоты пирамиды, основой которой является треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$, и у которой все двугранные углы при сторонах базы равны $\alpha$, используем формулу:

$$h=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{a\cdot c}{b}\right)$$

У нас основание пирамиды состоит из сторон длиной 5 см, 5 см и 6 см, и все двугранные углы при сторонах базы равны 60 градусам. Подставляем значения в формулу:

$$h=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{5\cdot 6}{5}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 6=3\sqrt{3}\text{см}$$

Ответ: длина висоты пирамиды равна $3\sqrt{3}$ сантиметра.

5. К сожалению, в задании №5 пропущено условие или вопрос. Пожалуйста, предоставьте дополнительную информацию или уточнение, чтобы я мог подробно ответить на ваш вопрос.