У трапеції ABCD (BC | AD), діагональ АС є бісектрисою кута А. Ця діагональ перетинає середню лінію трапеції в точці

Добро пожаловать в урок геометрии!

1. Для доказательства того, что угол ZAPB равен 90°, нам потребуется использовать свойство биссектрисы. Мы знаем, что AC является биссектрисой угла A, поэтому она делит угол A на два равных угла. Обозначим эти углы как ZAD и DAC.

Согласно свойству биссектрисы, отрезок AZ/AD = CZ/CD. Так как BC параллельна AD, то мы также можем сказать, что CZ/BC = DZ/CD.

Далее, заметим, что треугольник ZAD и треугольник ZCD имеют две равные стороны и равны соответственно (AZ/AD = DZ/CD) и (ZD = ZA), а также общую сторону ZD.

Исходя из этих равенств, мы можем сделать вывод, что треугольники ZAD и ZCD равны по стороне-сторона-сторона, и значит, у них равны соответствующие углы.

Учитывая, что углы DAC и ZDA равны (по свойству биссектрисы), мы можем заключить, что углы DAC и ZCD также равны.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник APB. Учитывая, что угол ZAB является внешним углом треугольника ZCD, он равен сумме внутренних углов ZCD и DAC.

Таким образом, угол ZAB = DAC + ZCD = ZDA + ZCD.

Но мы уже установили, что углы ZDA и ZCD равны из-за равенства треугольников ZAD и ZCD, поэтому угол ZAB равен 2*ZDA.

Поскольку угол ZDA является одним из углов равнобедренного треугольника ZAD, мы знаем, что он равен 90°. Поэтому угол ZAB также равен 90°.

Таким образом, мы доказали, что угол ZAPB равен 90°.

2. Чтобы найти площадь трапеции ABCD, мы можем разбить ее на два треугольника — ABC и ACD. Затем мы найдем площади каждого треугольника и сложим их.

Площадь треугольника ABC можно найти с помощью формулы площади треугольника: S = 0.5 * а * b * sin(C), где а и b — длины сторон треугольника, а C — угол между этими сторонами.

В треугольнике ABC у нас есть сторона АС, которая равна 2 * РС (серединная линия), а также BC и AB, которые равны соответственно 5 см и 13 см.

Теперь нужно найти угол C. Учитывая, что AC является биссектрисой, мы можем сказать, что угол C равен половине угла BAC. Но так как угол BAC равен 90°, угол C равен 45°.

Теперь мы можем использовать формулу площади треугольника и подставить известные значения:

S(ABC) = 0.5 * BC * AC * sin(C) = 0.5 * 5 см * 2 * РС * sin(45°).

Для нахождения площади треугольника ACD, мы будем использовать формулу площади прямоугольного треугольника: S = 0.5 * а * b, где а и b — длины катетов, а C — гипотенуза.

В треугольнике ACD у нас есть два катета, которые равны 2 * РС и AD, а также гипотенуза, равная BC. Известные значения подставляем в формулу:

S(ACD) = 0.5 * 2 * РС * 13 см.

Теперь мы можем сложить площади треугольников ABC и ACD:

S(ABCD) = S(ABC) + S(ACD) = 0.5 * 5 см * 2 * РС * sin(45°) + 0.5 * 2 * РС * 13 см.

Так как площадь треугольника APB равна 5 см^2 и он является половиной площади треугольника ABC, мы можем установить следующее соотношение:

S(ABC) = 2 * S(APB) = 2 * 5 см^2.

Теперь мы можем переписать площадь трапеции ABCD только через известное значение площади треугольника APB:

S(ABCD) = S(ABC) + S(ACD) = 2 * S(APB) + 0.5 * 2 * РС * 13 см.

Известно, что S(APB) = 5 см^2, поэтому мы можем подставить это значение:

S(ABCD) = 2 * 5 см^2 + 0.5 * 2 * РС * 13 см.

Таким образом, площадь трапеции ABCD составляет 10 см^2 + 2 * РС * 13 см.