1. Як знайти висоту піраміди, якщо у неї основою є трикутник зі сторонами 13, 20 і 21 см, а двогранні кути при основі

Хорошо, давайте рассмотрим каждую задачу по порядку.

1. Чтобы найти высоту пирамиды, нам понадобится использовать двугранный треугольник, образованный высотой, стороной основания и биссектрисой основания. В данной задаче у нас уже имеется треугольник с сторонами 13, 20 и 21 см, а также известно, что двугранные углы при основании равны 30°.

Для начала найдём площадь треугольника, используя формулу Герона. Пусть $a$, $b$ и $c$ будут сторонами треугольника, а $s$ - полупериметр (сумма сторон, поделенная на 2):

$$s=\frac{a+b+c}{2}$$

$$S=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}$$

В нашем случае:

$$s=\frac{13+20+21}{2}=27$$

$$S=\sqrt{27\cdot (27-13)\cdot (27-20)\cdot (27-21)}=\sqrt{27\cdot 14\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{1764}=42{\text{ см}}^2$$

Теперь, чтобы найти высоту, воспользуемся формулой для площади треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot \text{основание}\cdot \text{высота}$$

Подставим известные значения:

$$42=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot h$$

$$h=\frac{42\cdot 2}{13}=\frac{84}{13}\approx 6.46\text{ см}$$

Таким образом, высота пирамиды составляет около 6.46 см.

2. В данной задаче у нас есть прямоугольный треугольник с углом 30° и противоположным катетом длиной 30 см. Боковые рёбра пирамиды наклонены под углом 60° к плоскости основания.

Чтобы найти высоту пирамиды, нам понадобится использовать боковую грань пирамиды и прямоугольный треугольник. Воспользуемся соотношением между высотой и боковым ребром, где $\sin$ - функция синуса. Пусть $h$ - высота, $b$ - боковое ребро, и $\alpha$ - угол между высотой и основанием:

$$h=b\cdot \sin (\alpha )$$

Также используем тригонометрический закон синусов для нахождения бокового ребра $b$ по данным из условия. Пусть $c$ - противоположный катет в прямоугольном треугольнике:

$$\frac{b}{\sin (\alpha )}=\frac{c}{\sin (90°-\alpha )}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{b}{\sin (60°)}=\frac{30}{\sin (90°-60°)}$$

$$\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

$$b=30\sqrt{3}$$

Теперь найдём высоту:

$$h=b\cdot \sin (60°)=30\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=45\text{ см}$$

Таким образом, высота пирамиды составляет 45 см.

3. В данной задаче у нас есть треугольник САВ с известными сторонами, а также перпендикулярное к основанию ребро СА длиной 9 см.

Чтобы найти площадь поверхности пирамиды, нам понадобится вычислить площадь боковой поверхности и площадь основания, а затем сложить эти значения.

Для начала рассчитаем площадь боковой поверхности. Воспользуемся формулой для площади треугольника, где $a$, $b$ и $c$ - стороны треугольника, а $p$ - полупериметр (сумма сторон, поделенная на 2):

$$p=\frac{AС+АВ+СВ}{2}$$

$$S_{\text{бок}}=\sqrt{p\cdot (p-АС)\cdot (p-АВ)\cdot (p-СВ)}$$

Подставим известные значения:

$$p=\frac{13+15+14}{2}=21$$

$$S_{\text{бок}}=\sqrt{21\cdot (21-13)\cdot (21-15)\cdot (21-14)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 6\cdot 7}=\sqrt{2112}\approx 45.99{\text{ см}}^2$$

Теперь рассчитаем площадь основания, которая равна площади треугольника САВ:

$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot АС\cdot АВ=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 15=97.5{\text{ см}}^2$$

И, наконец, найдём площадь поверхности пирамиды, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности:

$$S_{\text{повн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}\approx 45.99+97.5\approx 143.49{\text{ см}}^2$$

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды SABC составляет около 143.49 см².

4. Форма основания пирамиды с заданной стороной $a$ и гострым углом $60°$ представляет собой правильный треугольник. Правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Таким образом, основание пирамиды будет представлять собой правильный треугольник со стороной $a$ и гострым углом $60°$.

Пожалуйста, если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!