1) What is the sum of the coordinates of vector a, knowing that it is directed opposite to vector b (-18; 9

Конечно, я помогу разобраться с каждой задачей. Давайте начнем.

1) Чтобы найти сумму координат вектора \( \mathbf{a} \), зная, что он направлен противоположно вектору \( \mathbf{b} \) с координатами (-18; 9; -6) и длиной |\( \mathbf{a} \)| = 7, выполним следующие шаги:

Вектор \( \mathbf{a} \) направлен противоположно вектору \( \mathbf{b} \), а значит, будем иметь:
\( \mathbf{a} = -\mathbf{b} \)

Так как длина вектора \( \mathbf{a} \) равна 7, то можем записать:
\( | \mathbf{a} | = 7 \)

Выразим вектор \( \mathbf{b} \) через его координаты:
\( \mathbf{b} = (-18, 9, -6) \)

Теперь найдем вектор \( \mathbf{a} \):
\( \mathbf{a} = -\mathbf{b} = -( -18, 9, -6 ) = (18, -9, 6) \)

Так как вам нужно найти сумму координат вектора \( \mathbf{a} \), сложим все его координаты:
\( 18 + ( -9 ) + 6 = 15 \)

Сумма координат вектора \( \mathbf{a} \) равна 15.

2) Чтобы найти значения м, при которых векторы \( \mathbf{a} \) (m², -5, 1) и \( \mathbf{b} \) (1, 1, -4) перпендикулярны, воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов.

Два вектора будут перпендикулярными, если и только если их скалярное произведение равно нулю. То есть:
\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \)

Запишем векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):
\( \mathbf{a} = (m^2, -5, 1) \)
\( \mathbf{b} = (1, 1, -4) \)

Выполним скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):
\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (m^2)(1) + (-5)(1) + (1)(-4) = m^2 - 5 - 4 = m^2 - 9 \)

Уравнение \( m^2 - 9 = 0 \) будет выполняться, если:
\( m^2 = 9 \)

Решим это уравнение:
\( m = \pm 3 \)

Таким образом, векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) будут перпендикулярными при значении m равном 3 или -3.

3) Чтобы найти косинус угла между векторами \( \mathbf{a} \) (3, 2, 1) и \( \mathbf{b} \) (1, 1, 2), воспользуемся формулой для вычисления косинуса угла между векторами через их скалярное произведение.

Косинус угла между векторами можно найти по формуле:
\( \cos(\theta) = \frac{ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} }{ | \mathbf{a} | | \mathbf{b} | } \)

Запишем векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):
\( \mathbf{a} = (3, 2, 1) \)
\( \mathbf{b} = (1, 1, 2) \)

Выполним скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):
\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3)(1) + (2)(1) + (1)(2) = 3 + 2 + 2 = 7 \)

Теперь найдем длины векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):
\( | \mathbf{a} | = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{14} \)
\( | \mathbf{b} | = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6} \)

Подставим значения в формулу для косинуса угла:
\( \cos(\theta) = \frac{ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} }{ | \mathbf{a} | | \mathbf{b} | } = \frac{7}{\sqrt{14} \sqrt{6}} \)

Вычислим значение:
\( \cos(\theta) = \frac{7}{\sqrt{14} \sqrt{6}} \approx 0.802 \)

Таким образом, косинус угла между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) приближенно равен 0.802.

4) Чтобы найти длину диагонали \( \overline{bd} \) параллелограмма \( abcd \) с вершинами \( a \) (2, 3, -5), \( c \) (3, 6, 8) и \( d \) (5, 4, -1), воспользуемся формулой для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Формула для расстояния между двумя точками \( P(x_1, y_1, z_1) \) и \( Q(x_2, y_2, z_2) \) выглядит следующим образом:
\( d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \)

Запишем координаты точек \( b \) и \( d \):
\( b \) (3, 6, 8)
\( d \) (5, 4, -1)

Вычислим расстояние между точками \( b \) и \( d \):
\( d(b, d) = \sqrt{(5 - 3)^2 + (4 - 6)^2 + (-1 - 8)^2} \)
\( d(b, d) = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-9)^2} \)
\( d(b, d) = \sqrt{4 + 4 + 81} \)
\( d(b, d) = \sqrt{89} \)

Таким образом, длина диагонали \( \overline{bd} \) параллелограмма \( abcd \) равна \( \sqrt{89} \).

5) Чтобы найти длину диагонали \( d \) ромба \( abcd \) с вершинами \( a \) (1, 3, -1), \( b \) (2, 4, 5) и \( c \) (8, 5, 6), воспользуемся также формулой для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Запишем координаты точек \( a \) и \( c \):
\( a \) (1, 3, -1)
\( c \) (8, 5, 6)

Вычислим расстояние между точками \( a \) и \( c \):
\( d(a, c) = \sqrt{(8 - 1)^2 + (5 - 3)^2 + (6 - (-1))^2} \)
\( d(a, c) = \sqrt{7^2 + 2^2 + 7^2} \)
\( d(a, c) = \sqrt{49 + 4 + 49} \)
\( d(a, c) = \sqrt{102} \)

Таким образом, длина диагонали \( d \) ромба \( abcd \) равна \( \sqrt{102} \).

6) Чтобы найти значение угла между вектором \( \mathbf{a} \) (-1