1) What is the lateral surface area of a pyramid with a rectangular trapezoid base, where the larger lateral side

1) Давайте рассмотрим эту пирамиду со стороной основания в форме прямоугольного трапецоида. У нас есть большая боковая сторона, которая равна 12 см, и острый угол, который равен 30 градусам. Все углы при основании находятся под 60 градусов.

Для нахождения боковой поверхности пирамиды, мы должны найти периметр основания и умножить его на высоту каждой боковой грани. В нашем случае, чтобы вычислить периметр основания, нам нужно найти длины всех его сторон.

Поскольку у нас есть прямоугольный трапецоид и все боковые углы основания равны 60 градусам, мы можем разделить его на два прямоугольных треугольника. Угол в прямоугольном треугольнике равен 30 градусам, его противоположная сторона равна 12 см, а гипотенуза равна одной из сторон основания.

Для нахождения этой стороны основания, мы можем использовать тригонометрическую функцию синус, так как у нас есть противоположная сторона и угол. Мы можем написать формулу следующим образом: \(\sin(30^\circ) = \frac{{12}}{{\text{{сторона основания}}}}\).

Решив это уравнение, мы можем найти сторону основания и понять, что она равна 24 см. Теперь у нас есть периметр основания, который можно вычислить, умножив сумму всех сторон на 2: \(24 + 12 + 24 + 12 = 72\) см.

Теперь мы должны найти высоту каждой боковой грани пирамиды. Поскольку угол при основании равен 60 градусам, мы можем использовать тригонометрическую функцию косинус, чтобы найти эту высоту. Формула будет выглядеть следующим образом: \(\cos(60^\circ) = \frac{{\text{{высота}}}}{{12}}\).

Из этого уравнения мы можем найти высоту, которая будет равна 6 см. Теперь, чтобы найти боковую поверхность пирамиды, мы умножаем периметр основания на высоту: \(72 \times 6 = 432\) см².

Таким образом, боковая поверхность этой пирамиды равняется 432 квадратных сантиметра.

2) Для вычисления боковой поверхности усеченной пирамиды с равнобедренными треугольными основаниями нам понадобится знать длины боковых ребер и высоту пирамиды.

У нас есть два основания этой пирамиды, которые являются правильными треугольниками. Стороны этих треугольников равны 4 см и 8 см. Мы также знаем, что боковое ребро образует угол в 60 градусов с боковой стороной большего основания.

Чтобы найти высоту пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора для правильного треугольника. Высота будет являться катетом прямоугольного треугольника, а его гипотенуза - боковое ребро пирамиды. Мы можем написать уравнение: \(h^2 = l^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2\), где \(h\) - высота пирамиды, \(l\) - длина бокового ребра и \(b\) - длина основания.

Решив это уравнение, мы можем найти высоту пирамиды. В нашем случае, \(h^2 = 8^2 - \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 64 - 4 = 60\) и, следовательно, \(h = \sqrt{60}\) см.

Теперь, чтобы найти боковую поверхность пирамиды, мы должны найти периметры оснований и длину бокового ребра. Периметр правильного треугольника равен сумме длин его сторон, поэтому в нашем случае периметр составит \(4 + 4 + 8 = 16\) см.

Наконец, мы можем найти площадь каждой боковой грани, умножив периметр на высоту пирамиды и делить это значение пополам, так как у нас две боковые грани. Формула будет выглядеть так: \(\frac{1}{2} \times 16 \times \sqrt{60}\) см².

Вычислив это выражение, мы получаем, что боковая поверхность усеченной пирамиды равна \(8\sqrt{60}\) см².