№1. What are the values of the fifth term and the n-th term for the geometric progression 2; 2/3; 2/9; ...? №2

№1. Данная задача относится к геометрической прогрессии, которая имеет постоянное отношение между каждыми двумя соседними членами. Мы можем найти пятый и n-ый члены данной последовательности.

Для геометрической прогрессии общий член может быть представлен как \(a_n = a \cdot q^{n-1}\), где \(a\) - первый член последовательности, \(q\) - общее отношение (знаменатель прогрессии), \(n\) - номер члена последовательности.

Поэтому, чтобы найти пятый член, мы должны использовать формулу:
\[a_5 = a \cdot q^{5-1}\]
\[a_5 = a \cdot q^4\]

А чтобы найти n-ый член, мы заменяем 5 на \(n\) в формуле:
\[a_n = a \cdot q^{n-1}\]

Давайте найдем значения для данного примера:

Дано: \(a_1 = 2\) (первый член), \(q = \frac{2}{3}\) (отношение)

Пятый член:
\[a_5 = 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4\]
\[a_5 = 2 \cdot \frac{16}{81}\]
\[a_5 = \frac{32}{81}\]

n-ный член:
\[a_n = 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\]

№2. В этой задаче нам также дана геометрическая прогрессия. Нам нужно найти значения \(b_1\) (первый член) и \(q\) (общее отношение), при условии, что \(b_3 = \frac{7}{2}\) и \(b_6 = \frac{7}{16}\).

Мы можем использовать формулу общего члена геометрической прогрессии, чтобы решить данную задачу. Опять же, формула общего члена данной последовательности будет выглядеть как \(a_n = a \cdot q^{n-1}\), где \(a\) - первый член последовательности, \(q\) - общее отношение (знаменатель прогрессии), \(n\) - номер члена последовательности.

Для нахождения \(b_1\) и \(q\) мы можем использовать информацию о третьем и шестом членах последовательности:

Используем \(b_3\):
\(\frac{7}{2} = b_1 \cdot q^2\)

Используем \(b_6\):
\(\frac{7}{16} = b_1 \cdot q^5\)

У нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(b_1\) и \(q\)). Мы можем решить эту систему уравнений с использованием метода подстановки или метода равноаппроксимационных изменений.

Давайте решим эту систему уравнений:

Уравнение 1:
\(\frac{7}{2} = b_1 \cdot q^2\)

Уравнение 2:
\(\frac{7}{16} = b_1 \cdot q^5\)

Разделим уравнение 2 на уравнение 1:
\(\frac{\frac{7}{16}}{\frac{7}{2}} = \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q^2}\)
\(\frac{1}{8} = q^3\)

Теперь найдем значение \(q\):
\(q^3 = \frac{1}{8}\)
\(q = \frac{1}{2}\)

Подставим найденное значение \(q\) в любое уравнение (например, в уравнение 1) и найдем значение \(b_1\):

\(\frac{7}{2} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(\frac{7}{2} = b_1 \cdot \frac{1}{4}\)
\(b_1 = \frac{7}{2} \cdot 4\)
\(b_1 = 14\)

Таким образом, значения \(b_1\) и \(q\) равны 14 и \(\frac{1}{2}\) соответственно.

№3. В этой задаче нам дана геометрическая прогрессия с суммой первых четырех членов равной 40, а общее отношение равно 3. Нам нужно найти сумму первых восьми членов данной прогрессии.

Для нахождения суммы первых восьми членов геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу суммы \(S_n = \frac{a \cdot (q^n - 1)}{q - 1}\), где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов последовательности, \(a\) - первый член последовательности, \(q\) - общее отношение (знаменатель прогрессии), \(n\) - количество членов последовательности.

Дано: \(S_4 = 40\) (сумма первых четырех членов), \(q = 3\) (общее отношение), \(n = 8\) (количество членов, для которых мы должны найти сумму).

Используя данную информацию, мы можем подставить значения в формулу и решить уравнение для \(S_8\):

\[S_8 = \frac{a \cdot (q^8 - 1)}{q - 1}\]