1) What are the points of extremum for the function y=x^3-3x^2?
2) Determine the points of extremum for the function y=x^4-8x^2+3.
3) Find the points of extremum for the function y=x+sinx.
4) Identify the points of extremum for the function y=6sinx-cos2x.
2) Determine the points of extremum for the function y=x^4-8x^2+3.
3) Find the points of extremum for the function y=x+sinx.
4) Identify the points of extremum for the function y=6sinx-cos2x.
Музыкальный_Эльф
Решение:
1) Для нахождения точек экстремума для функции \(y=x^3-3x^2\) нам необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю. Затем мы проанализируем, как меняется знак производной вокруг этих точек.
Запишем функцию в виде \(y=x^3-3x^2\) и найдем ее производную:
\[\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x\]
Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю:
\[3x^2 - 6x = 0\]
Вынесем общий множитель:
\[3x(x - 2) = 0\]
Теперь найдем значения x:
\[x_1 = 0\]
\[x_2 = 2\]
Подставим найденные значения x обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:
\[y_1 = (0)^3 - 3(0)^2 = 0\]
\[y_2 = (2)^3 - 3(2)^2 = -4\]
Таким образом, точки экстремума для функции \(y=x^3-3x^2\) это (0, 0) и (2, -4).
2) Для функции \(y=x^4-8x^2+3\) мы также найдем значения x, при которых производная функции равна нулю, и проверим, как меняется знак производной вокруг этих точек.
Запишем функцию в виде \(y=x^4-8x^2+3\) и найдем ее производную:
\[\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 16x\]
Приравняем производную к нулю:
\[4x^3 - 16x = 0\]
Вынесем общий множитель:
\[4x(x^2 - 4) = 0\]
Теперь найдем значения x:
\[x_1 = 0\]
\[x_2 = -2\]
\[x_3 = 2\]
Подставим найденные значения x обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:
\[y_1 = (0)^4 - 8(0)^2 + 3 = 3\]
\[y_2 = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 3 = 35\]
\[y_3 = (2)^4 - 8(2)^2 + 3 = 35\]
Таким образом, точки экстремума для функции \(y=x^4-8x^2+3\) это (0, 3), (-2, 35) и (2, 35).
3) Функция \(y=x+\sin(x)\) является суммой функций \(x\) и \(\sin(x)\). Чтобы найти точки экстремума для такой функции, мы также найдем значения x, при которых производная функции равна нулю, и проверим, как меняется знак производной вокруг этих точек.
Найдем производную функции \(y=x+\sin(x)\):
\[\frac{dy}{dx} = 1 + \cos(x)\]
Для производной равной нулю, должно выполняться условие:
\[1 + \cos(x) = 0\]
\[\cos(x) = -1\]
Функция \(\cos(x)\) равна -1 при \(x = \pi + 2\pi n\), где \(n\) - любое целое число. Подставим найденные значения x обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:
\[y_1 = \pi + 2\pi n + \sin(\pi + 2\pi n)\]
Таким образом, точки экстремума для функции \(y=x+\sin(x)\) это все значения, полученные из выражения \(\pi + 2\pi n\), где \(n\) является целым числом.
4) Для функции \(y=6\sin(x)-\cos(2x)\) мы также найдем значения x, при которых производная функции равна нулю, и проверим, как меняется знак производной вокруг этих точек.
Запишем функцию в виде \(y=6\sin(x)-\cos(2x)\) и найдем ее производную:
\[\frac{dy}{dx} = 6\cos(x) + 2\sin(2x)\]
Приравняем производную к нулю:
\[6\cos(x) + 2\sin(2x) = 0\]
Подставим значение \(2\sin(2x) = 4\sin(x)\):
\[6\cos(x) + 4\sin(x) = 0\]
Разделим все на 2:
\[3\cos(x) + 2\sin(x) = 0\]
Мы не можем решить это уравнение аналитически. Чтобы найти точки экстремума, необходимо использовать численные методы или программы для приближенного решения. Таким образом, точки экстремума для функции \(y=6\sin(x)-\cos(2x)\) могут быть найдены численным методом.
1) Для нахождения точек экстремума для функции \(y=x^3-3x^2\) нам необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю. Затем мы проанализируем, как меняется знак производной вокруг этих точек.
Запишем функцию в виде \(y=x^3-3x^2\) и найдем ее производную:
\[\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x\]
Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю:
\[3x^2 - 6x = 0\]
Вынесем общий множитель:
\[3x(x - 2) = 0\]
Теперь найдем значения x:
\[x_1 = 0\]
\[x_2 = 2\]
Подставим найденные значения x обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:
\[y_1 = (0)^3 - 3(0)^2 = 0\]
\[y_2 = (2)^3 - 3(2)^2 = -4\]
Таким образом, точки экстремума для функции \(y=x^3-3x^2\) это (0, 0) и (2, -4).
2) Для функции \(y=x^4-8x^2+3\) мы также найдем значения x, при которых производная функции равна нулю, и проверим, как меняется знак производной вокруг этих точек.
Запишем функцию в виде \(y=x^4-8x^2+3\) и найдем ее производную:
\[\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 16x\]
Приравняем производную к нулю:
\[4x^3 - 16x = 0\]
Вынесем общий множитель:
\[4x(x^2 - 4) = 0\]
Теперь найдем значения x:
\[x_1 = 0\]
\[x_2 = -2\]
\[x_3 = 2\]
Подставим найденные значения x обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:
\[y_1 = (0)^4 - 8(0)^2 + 3 = 3\]
\[y_2 = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 3 = 35\]
\[y_3 = (2)^4 - 8(2)^2 + 3 = 35\]
Таким образом, точки экстремума для функции \(y=x^4-8x^2+3\) это (0, 3), (-2, 35) и (2, 35).
3) Функция \(y=x+\sin(x)\) является суммой функций \(x\) и \(\sin(x)\). Чтобы найти точки экстремума для такой функции, мы также найдем значения x, при которых производная функции равна нулю, и проверим, как меняется знак производной вокруг этих точек.
Найдем производную функции \(y=x+\sin(x)\):
\[\frac{dy}{dx} = 1 + \cos(x)\]
Для производной равной нулю, должно выполняться условие:
\[1 + \cos(x) = 0\]
\[\cos(x) = -1\]
Функция \(\cos(x)\) равна -1 при \(x = \pi + 2\pi n\), где \(n\) - любое целое число. Подставим найденные значения x обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:
\[y_1 = \pi + 2\pi n + \sin(\pi + 2\pi n)\]
Таким образом, точки экстремума для функции \(y=x+\sin(x)\) это все значения, полученные из выражения \(\pi + 2\pi n\), где \(n\) является целым числом.
4) Для функции \(y=6\sin(x)-\cos(2x)\) мы также найдем значения x, при которых производная функции равна нулю, и проверим, как меняется знак производной вокруг этих точек.
Запишем функцию в виде \(y=6\sin(x)-\cos(2x)\) и найдем ее производную:
\[\frac{dy}{dx} = 6\cos(x) + 2\sin(2x)\]
Приравняем производную к нулю:
\[6\cos(x) + 2\sin(2x) = 0\]
Подставим значение \(2\sin(2x) = 4\sin(x)\):
\[6\cos(x) + 4\sin(x) = 0\]
Разделим все на 2:
\[3\cos(x) + 2\sin(x) = 0\]
Мы не можем решить это уравнение аналитически. Чтобы найти точки экстремума, необходимо использовать численные методы или программы для приближенного решения. Таким образом, точки экстремума для функции \(y=6\sin(x)-\cos(2x)\) могут быть найдены численным методом.
Знаешь ответ?