1) What are the points of extremum for the function y=x^3-3x^2? 2) Determine the points of extremum for the function

Решение:

1) Для нахождения точек экстремума для функции \(y=x^3-3x^2\) нам необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю. Затем мы проанализируем, как меняется знак производной вокруг этих точек.

Запишем функцию в виде \(y=x^3-3x^2\) и найдем ее производную:

\[\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x\]

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю:

\[3x^2 - 6x = 0\]

Вынесем общий множитель:

\[3x(x - 2) = 0\]

Теперь найдем значения x:

\[x_1 = 0\]
\[x_2 = 2\]

Подставим найденные значения x обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

\[y_1 = (0)^3 - 3(0)^2 = 0\]
\[y_2 = (2)^3 - 3(2)^2 = -4\]

Таким образом, точки экстремума для функции \(y=x^3-3x^2\) это (0, 0) и (2, -4).

2) Для функции \(y=x^4-8x^2+3\) мы также найдем значения x, при которых производная функции равна нулю, и проверим, как меняется знак производной вокруг этих точек.

Запишем функцию в виде \(y=x^4-8x^2+3\) и найдем ее производную:

\[\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 16x\]

Приравняем производную к нулю:

\[4x^3 - 16x = 0\]

Вынесем общий множитель:

\[4x(x^2 - 4) = 0\]

Теперь найдем значения x:

\[x_1 = 0\]
\[x_2 = -2\]
\[x_3 = 2\]

Подставим найденные значения x обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

\[y_1 = (0)^4 - 8(0)^2 + 3 = 3\]
\[y_2 = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 3 = 35\]
\[y_3 = (2)^4 - 8(2)^2 + 3 = 35\]

Таким образом, точки экстремума для функции \(y=x^4-8x^2+3\) это (0, 3), (-2, 35) и (2, 35).

3) Функция \(y=x+\sin(x)\) является суммой функций \(x\) и \(\sin(x)\). Чтобы найти точки экстремума для такой функции, мы также найдем значения x, при которых производная функции равна нулю, и проверим, как меняется знак производной вокруг этих точек.

Найдем производную функции \(y=x+\sin(x)\):

\[\frac{dy}{dx} = 1 + \cos(x)\]

Для производной равной нулю, должно выполняться условие:

\[1 + \cos(x) = 0\]

\[\cos(x) = -1\]

Функция \(\cos(x)\) равна -1 при \(x = \pi + 2\pi n\), где \(n\) - любое целое число. Подставим найденные значения x обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

\[y_1 = \pi + 2\pi n + \sin(\pi + 2\pi n)\]

Таким образом, точки экстремума для функции \(y=x+\sin(x)\) это все значения, полученные из выражения \(\pi + 2\pi n\), где \(n\) является целым числом.

4) Для функции \(y=6\sin(x)-\cos(2x)\) мы также найдем значения x, при которых производная функции равна нулю, и проверим, как меняется знак производной вокруг этих точек.

Запишем функцию в виде \(y=6\sin(x)-\cos(2x)\) и найдем ее производную:

\[\frac{dy}{dx} = 6\cos(x) + 2\sin(2x)\]

Приравняем производную к нулю:

\[6\cos(x) + 2\sin(2x) = 0\]

Подставим значение \(2\sin(2x) = 4\sin(x)\):

\[6\cos(x) + 4\sin(x) = 0\]

Разделим все на 2:

\[3\cos(x) + 2\sin(x) = 0\]

Мы не можем решить это уравнение аналитически. Чтобы найти точки экстремума, необходимо использовать численные методы или программы для приближенного решения. Таким образом, точки экстремума для функции \(y=6\sin(x)-\cos(2x)\) могут быть найдены численным методом.