What is the solution to the equation 0.4 raised to the power of the logarithm base 2 of (x+1), minus 6.25 squared minus

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам. Дано уравнение:

\[0.4^{\log_{2}(x+1)} - 6.25^2 - \log_{10}(x^{3}) = 0 \]

Наша задача - найти решение этого уравнения, и если оно имеет больше одного корня, то выразить их произведение.

Шаг 1: Преобразование уравнения
Давайте начнем с преобразования уравнения. Сначала заменим \(0.4\) и \(6.25^2\) на числовые значения:

\[ (2/5)^{\log_{2}(x+1)} - 39.0625 - \log_{10}(x^{3}) = 0 \]

Шаг 2: Преобразование логарифмических выражений
Чтобы упростить уравнение, нам нужно преобразовать логарифмические выражения. Для этого воспользуемся некоторыми свойствами логарифмов:

- Свойство 1: \(\log_{a}(b^c) = c \cdot \log_{a}(b)\)
- Свойство 2: \(\log_{a}(a) = 1\)

Применим свойство 1 к первому слагаемому:

\[ \left(\frac{2}{5}\right)^{\log_{2}(x+1)} = 2^{\log_{2}(x+1) \cdot \log_{2}\left(\frac{2}{5}\right)} \]

Применим свойство 1 и свойство 2 ко второму слагаемому:

\[ \log_{10}(x^{3}) = 3 \cdot \log_{10}(x) \]

Теперь уравнение примет вид:

\[ 2^{\log_{2}(x+1) \cdot \log_{2}\left(\frac{2}{5}\right)} - 39.0625 - 3 \cdot \log_{10}(x) = 0 \]

Шаг 3: Приведение к общему основанию
Для дальнейшего упрощения уравнения приведем оба логарифма к общему основанию. Воспользуемся свойством смены основания:

\[ \log_{a}(b) = \frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)} \]

Применим это свойство к нашему уравнению:

\[ 2^{\frac{\log_{10}(x+1) \cdot \log_{10}\left(\frac{2}{5}\right)}{\log_{10}(2)}} - 39.0625 - 3 \cdot \log_{10}(x) = 0 \]

Шаг 4: Выражение под одним логарифмом
Упростим дробь под экспонентой:

\[ \frac{\log_{10}(x+1) \cdot \log_{10}\left(\frac{2}{5}\right)}{\log_{10}(2)} = \log_{2}(x+1) \cdot \log_{2}\left(\frac{2}{5}\right) = \log_{2}\left((x+1)^{\log_{2}\left(\frac{2}{5}\right)}\right) \]

Теперь уравнение имеет вид:

\[ 2^{\log_{2}\left((x+1)^{\log_{2}\left(\frac{2}{5}\right)}\right)} - 39.0625 - 3 \cdot \log_{10}(x) = 0 \]

Шаг 5: Решение уравнения
Используем свойство эквивалентности логарифма и показателя степени:

\[ a^{\log_{a}(b)} = b \]

Применим это свойство к первому слагаемому:

\[ 2^{\log_{2}\left((x+1)^{\log_{2}\left(\frac{2}{5}\right)}\right)} = (x+1)^{\log_{2}\left(\frac{2}{5}\right)} \]

Теперь уравнение примет вид:

\[ (x+1)^{\log_{2}\left(\frac{2}{5}\right)} - 39.0625 - 3 \cdot \log_{10}(x) = 0 \]

Данный вид уравнения трудно решить аналитически, поэтому мы будем использовать графический метод для нахождения корней: