1. Всегда ли многоугольник, углы которого все равны, является правильным? Почему? 2. Всегда ли многоугольник, в котором

1. Нет, не всегда многоугольник, у которого углы все равны, является правильным. Правильный многоугольник имеет все стороны и углы равными. Однако есть несколько многоугольников, у которых все углы равны, но все стороны не равны. Например, ромб и прямоугольник - это многоугольники, у которых все углы равны, но в то же время имеют разные стороны. Поэтому, чтобы многоугольник был правильным, ему необходимо иметь равные стороны и углы.

2. Нет, не всегда многоугольник, в котором биссектрисы всех внутренних углов пересекаются в одной точке, является правильным. Этот факт применим только для выпуклых многоугольников, где все углы внутренние. Не выпуклые многоугольники также могут иметь биссектрисы, пересекающиеся в одной точке, но при этом не иметь равных углов и сторон. Таким образом, условие пересечения биссектрис в одной точке не является достаточным для определения правильного многоугольника.

3. Если площадь круга уменьшится в 3 раза, то радиус круга изменится в \(\sqrt{3}\) раза. Это связано с тем, что площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. Если площадь уменьшается в 3 раза, то площадь становится \(\frac{1}{3}\) от исходной площади. Поскольку площадь круга пропорциональна квадрату радиуса (\(S = \pi r^2\)), то новый радиус будет \(\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\), что эквивалентно \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) раза меньше исходного радиуса.

4. Наименьшая градусная мера угла правильного многоугольника зависит от типа многоугольника. Для треугольника наименьшая градусная мера угла равна 60°, так как сумма углов треугольника равна 180°. Для четырехугольника - квадрата наименьшая градусная мера угла равна 90°. Для пятиугольника (пентагона) - 108°, для шестиугольника (гексагона) - 120°, для семиугольника (гептагона) - 128.57° и так далее. Таким образом, наименьшая градусная мера угла правильного многоугольника будет увеличиваться по мере увеличения числа его сторон.

5. При равности площади сектора и площади четверти круга, длина хорды, соединяющей концы дуги сектора, будет равна радиусу круга. Представим, что угол сектора равен \(\theta\) и радиус круга равен \(r\). Площадь сектора равна \(\frac{\theta}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{\theta}{2} r^2\), а площадь четверти круга равна \(\frac{1}{4} \cdot \pi r^2\). Поскольку площади равны, получаем уравнение \(\frac{\theta}{2} r^2 = \frac{1}{4} \cdot \pi r^2\). Упрощая это уравнение, получаем \(\theta = \frac{1}{2} \pi\), что соответствует углу в 90 градусов. Таким образом, угол сектора должен быть прямым, а значит хорда, соединяющая концы дуги сектора, будет диаметром круга и равна его радиусу.