1. Solve the following equations: 1) Find the solution for 5x^2 - 10 = 0. 2) Determine the solution for 3x^2 + 4x

1. Решение уравнений:

1) Найдем решение для уравнения \(5x^2 - 10 = 0\).
Для начала, добавим 10 к обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от вычитания:
\(5x^2 - 10 + 10 = 0 + 10\)
Получим: \(5x^2 = 10\).
Затем, разделим обе стороны уравнения на 5, чтобы найти значение \(x^2\):
\(\frac{{5x^2}}{5} = \frac{{10}}{5}\)
По упрощению получим: \(x^2 = 2\).
Чтобы найти значение \(x\), извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
\(\sqrt{x^2} = \sqrt{2}\)
Учитывая, что квадратный корень из \(x^2\) равен \(|x|\) (абсолютное значение \(x\)), получим: \(x = \pm\sqrt{2}\).
Таким образом, у уравнения \(5x^2 - 10 = 0\) есть два решения: \(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\).

2) Определим решение уравнения \(3x^2 + 4x = 0\).
Факторизуем данное уравнение:
\(x(3x + 4) = 0\).
Таким образом, получаем два возможных варианта для решения:
a) \(x = 0\).
b) \(3x + 4 = 0\).
При решении второго варианта получим:
\(3x = -4\),
\(x = -\frac{4}{3}\).
Следовательно, у уравнения \(3x^2 + 4x = 0\) есть два решения: \(x = 0\) и \(x = -\frac{4}{3}\).

3) Найдем значение \(x\) в уравнении \(x^2 + 6x - 7 = 0\).
Для решения данного уравнения можно воспользоваться методом факторизации или квадратным корнем.
Представим уравнение в виде произведения двух скобок:
\((x + 7)(x - 1) = 0\).
Итак, получили два возможных варианта для решения:
a) \(x + 7 = 0\),
\(x = -7\).
b) \(x - 1 = 0\),
\(x = 1\).
Значит, у уравнения \(x^2 + 6x - 7 = 0\) есть два решения: \(x = -7\) и \(x = 1\).

4) Найдем корни уравнения \(3x^2 + 7x + 2 = 0\).
Для решения сначала факторизуем данное уравнение:
\((3x + 1)(x + 2) = 0\).
Получаем два возможных варианта для решения:
a) \(3x + 1 = 0\),
\(x = -\frac{1}{3}\).
b) \(x + 2 = 0\),
\(x = -2\).
Таким образом, у уравнения \(3x^2 + 7x + 2 = 0\) есть два решения: \(x = -\frac{1}{3}\) и \(x = -2\).

5) Найдем решение уравнения \(x^2 - 3x + 1 = 0\).
Для решения данного уравнения также можно воспользоваться методом факторизации или квадратным корнем.
Так как данное уравнение не факторизуется, воспользуемся квадратным корнем.
Используя формулу квадратного корня, получаем:
\(x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\).
Упростим данное выражение:
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2}\),
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\).
Итак, у уравнения \(x^2 - 3x + 1 = 0\) есть два решения: \(x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\) и \(x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\).

6) Решим уравнение \(x^2 - x + 3 = 0\).
Данное уравнение не факторизуется, поэтому воспользуемся формулой квадратного корня:
\(x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}\).
Упростим данное выражение:
\(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2}\),
\(x = \frac{1 \pm \sqrt{-11}}{2}\).
Так как \(\sqrt{-11}\) является комплексным числом, у уравнения \(x^2 - x + 3 = 0\) нет действительных корней.

2. Создадим квадратное уравнение, сумма корней которого равна 6, а их произведение равно 4.
Пусть корни этого уравнения будут \(x_1\) и \(x_2\).
Согласно свойствам квадратных уравнений, сумма корней равна сумме коэффициентов при степенях \(x\) с отрицательным знаком, а произведение корней равно свободному члену с отрицательным знаком.
Поэтому уравнение будет иметь вид:
\((x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0\).
Так как сумма корней равна 6, а их произведение равно 4, то:
\(x_1 + x_2 = 6\) и \(x_1x_2 = 4\).
Используя эти данные, можно составить уравнение:
\(x^2 - 6x + 4 = 0\).
Таким образом, созданное нами квадратное уравнение, у которого сумма корней равна 6, а произведение равно 4, имеет вид \(x^2 - 6x + 4 = 0\).

3. Одна сторона прямоугольника на 7 см длиннее другой стороны. Найдем размеры прямоугольника, если его площадь равна 44 квадратным сантиметрам.
Предположим, что x представляет собой длину более короткой стороны прямоугольника.
Тогда длина более длинной стороны будет \(x + 7\).
Формула для площади прямоугольника: Длина × Ширина.
Таким образом, получаем уравнение для нахождения \(x\):
\(x(x + 7) = 44\).
Раскроем скобки:
\(x^2 + 7x = 44\).
Перенесем все члены влево:
\(x^2 + 7x - 44 = 0\).
Затем найдем решение данного уравнения путем факторизации или использования квадратного корня:
\((x - 4)(x + 11) = 0\).
Получаем два возможных варианта для решения:
a) \(x - 4 = 0\),
\(x = 4\).
b) \(x + 11 = 0\),
\(x = -11\).
Значит, прямоугольник имеет следующие размеры: одна сторона равна 4 см, а другая сторона равна 11 см (или наоборот: одна сторона равна 11 см, а другая сторона равна 4 см).

4. Число -6 является корнем уравнения \(2x^2 + bx - 6 = 0\). Найдем второй корень.
Пусть второй корень будет \(x_2\).
Используя свойства квадратных уравнений, сумма корней равна \(-\frac{b}{2a}\) и произведение корней равно \(-\frac{c}{a}\).
Где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты при \(x^2\), \(x\) и свободный член соответственно.
Таким образом, уравнение будет иметь вид:
\((x - (-6))(x - x_2) = 0\),
\((x + 6)(x - x_2) = 0\).
Зная, что \(x_1 = -6\), можем найти второй корень:
\(x_1x_2 = -\frac{c}{a}\),
\(-6 \cdot x_2 = -\frac{-6}{2}\),
\(-6x_2 = 3\),
\(x_2 = -\frac{1}{2}\).
Таким образом, второй корень равен \(x_2 = -\frac{1}{2}\).

Надеюсь, что эти пошаговые объяснения помогут вам разобраться с данными задачами! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!