1) Сконструируйте плоскость, проходящую через середины ребер AB, AM и MC правильной пирамиды MABC, обозначенные точками

Хорошо, давайте посмотрим на каждую часть задачи по порядку.

1) Для начала нам нужно построить плоскость, проходящую через середины ребер AB, AM и MC. Обозначим точки середин ребер как D, E и F соответственно.

Находим середину ребра AB:
AB - это сторона пирамиды. Мы знаем, что AB = 8 см. Чтобы найти середину этой стороны, достаточно разделить ее длину пополам. Таким образом, середина ребра AB - это точка, находящаяся на расстоянии 4 см от каждого из концов ребра.

Теперь находим середину ребра AM:
AM - это еще одна сторона пирамиды. У нас также есть значение AM = 12 см. Снова разделив эту длину пополам, мы найдем середину ребра AM, которая также будет находиться на расстоянии 6 см от точки A.

Наконец, находим середину ребра MC:
MC - последняя сторона пирамиды. Мы не знаем ее длину, но знаем, что точка M является вершиной пирамиды, поэтому высота, опущенная на основание BC, должна быть перпендикулярна. Таким образом, середина ребра MC будет находиться на горизонтальной прямой, проходящей через середину ребра AB.

2) Теперь мы хотим доказать, что построенная плоскость является прямоугольником.

Прежде всего, вспомним, что прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые. Для нашего случая это означает, что нам нужно показать, что углы между сторонами плоскости равны 90 градусам.

Для доказательства этого факта мы можем использовать свойство пирамиды, которое гласит, что прямая, соединяющая вершину пирамиды с серединой основания, делит эту пирамиду на две равные пирамиды.

Знаем, что угол между стороной пирамиды и этой прямой равен 90 градусам (по свойству прямого угла). Так как плоскость проходит через середины ребер, она будет содержать эту прямую.

Таким образом, углы между сторонами плоскости будут равны 90 градусам, что делает ее прямоугольником.

3) Теперь давайте определим площадь построенного сечения пирамиды.

Для этого мы можем воспользоваться свойством площади треугольника, где S = 0,5 * основание * высота.

Высота треугольника, образованного плоскостью и ребром AB, будет равна половине высоты пирамиды, так как плоскость проходит через середину ребра AB. Мы уже нашли середину ребра AB - это точка D.

Основание треугольника будет равно длине ребра AB, то есть 8 см.

Таким образом, площадь этого треугольника будет равна S = 0,5 * 8 см * (0,5 * высота пирамиды).

Высоту пирамиды можно найти, используя теорему Пифагора. Мы знаем, что одна сторона площади базы пирамиды равна 12 см, а другая равна 8 см.

Таким образом, используя теорему Пифагора, высота пирамиды будет равна \[h = \sqrt{12^2 - 4^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\]

Подставляя эту высоту в формулу площади треугольника, получим:

S = 0,5 * 8 см * (0,5 * 8\(\sqrt{2}\) см) = 16\(\sqrt{2}\) см².

Таким образом, площадь построенного сечения пирамиды составляет 16\(\sqrt{2}\) см².