Чему равен синус острого угла A в треугольнике ABC, если известно, что косинус этого угла равен 16/34?

Для начала, нам нужно вспомнить основные соотношения в треугольнике. В прямоугольном треугольнике ABC с острым углом A мы имеем следующие соотношения:

\[\sin(A) = \frac{{\text{противоположная сторона}}}{{\text{гипотенуза}}}\]
\[\cos(A) = \frac{{\text{прилежащая сторона}}}{{\text{гипотенуза}}}\]

Мы знаем, что \(\cos(A) = \frac{16}{34}\). Стоит отметить, что косинус острого угла всегда положителен, поскольку прилежащая сторона и гипотенуза всегда положительны. Так как гипотенуза является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике, она всегда больше, чем прилежащая сторона. Поэтому, в этом случае, мы можем сказать, что гипотенуза равна 34, а прилежащая сторона равна 16.

Теперь, чтобы найти противоположную сторону, нам понадобится использовать теорему Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

где a и b - катеты, а c - гипотенуза.

В нашем случае:

\[16^2 + b^2 = 34^2\]

Решая эту уравнение, мы найдем b, противоположную сторону:

\[256 + b^2 = 1156\]
\[b^2 = 900\]
\[b = 30\]

Таким образом, у нас есть значения всех сторон треугольника ABC: противоположная сторона равна 30, прилежащая сторона равна 16, а гипотенуза равна 34.

Теперь мы можем найти значение синуса острого угла A, используя первое соотношение:

\[\sin(A) = \frac{{\text{противоположная сторона}}}{{\text{гипотенуза}}} = \frac{{30}}{{34}}\]

Таким образом, синус острого угла A в треугольнике ABC равен \(\frac{{30}}{{34}}\).