1. Сколько всего букетов было в школе, если все первоклассники пришли с букетами астр и ромашек? Какое правило

1. Для решения задачи мы можем использовать правило сложения, так как нам нужно посчитать общее количество букетов из двух разных видов цветов - астр и ромашек. Правило сложения гласит, что если у нас есть несколько независимых событий, то общее количество способов получить одно из событий равно сумме количества способов получить каждое из событий отдельно.

Пусть число первоклассников, пришедших с астрами, равно \(x\), а число первоклассников, пришедших с ромашками, равно \(y\). Тогда общее количество букетов будет равно \(x + y\).

2. Чтобы посчитать количество слов, которые можно составить из букв слова "пуговица" и имеют две гласные и три согласные, мы можем применить правило перестановок с повторениями. Правило перестановок с повторениями гласит, что если мы имеем слово из \(n\) букв, где некоторые буквы повторяются, и нам нужно выбрать \(k\) букв, то общее количество слов, которые можно составить, будет равно \(\frac{{n!}}{{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}}\), где \(n_i\) - количество повторяющихся букв.

В данном случае у нас есть слово "пуговица" с 8 буквами. Количество гласных букв равно 4 (у, о, и, а), а количество согласных букв равно 4 (п, г, в, ц). Нам нужно выбрать 2 гласные и 3 согласные, так что общее количество слов будет равно \(\frac{{8!}}{{2! \cdot 3!}}\).

3. Чтобы посчитать количество чисел, больших 5000000, которые можно составить из цифр 7, 5, 4, 4, 3, 3 и 1, мы можем использовать комбинаторику и принцип перестановок с повторениями. Нам нужно выбрать цифры и расположить их так, чтобы полученное число было больше 5000000.

Начнем с разбиения чисел на разряды. Используя условие задачи, мы можем определить, что первая цифра числа должна быть 7, так как она должна быть больше 5. Теперь остается выбрать и расположить оставшиеся цифры - 5, 4, 4, 3, 3 и 1.

У нас есть 6 различных цифр, поэтому можем воспользоваться правилом перестановок с повторениями, чтобы посчитать количество чисел. Общее количество чисел будет равно \(\frac{{6!}}{{2! \cdot 2!}}\), так как у нас есть две повторяющиеся цифры (4 и 3).

4. Чтобы посчитать количество способов выбрать 6 человек из группы из 20 человек (5 мужчин и 15 женщин) так, чтобы среди выбранных было 3 мужчины и 3 женщины, мы можем использовать комбинаторику и принцип комбинаций.

Для решения этой задачи мы можем разделить ее на две части: выбор 3 мужчин из 5 и выбор 3 женщин из 15. Затем мы можем использовать принцип комбинаций, который гласит, что общее количество способов выбрать \(k\) элементов из множества из \(n\) элементов будет равно \(\binom{{n}}{{k}} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\).

Таким образом, общее количество способов выбрать 6 человек из группы будет равно \(\binom{{5}}{{3}} \cdot \binom{{15}}{{3}} = \frac{{5!}}{{3! \cdot 2!}} \cdot \frac{{15!}}{{3! \cdot 12!}}\).